【期中单元重点测试卷】（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 第十二章 全等三角形-测试卷

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第十二章 全等三角形（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全册的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各项中，两个图形属于全等图形的是（    ）
A．   B．   C．   D．  
【答案】C
【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
2．如图，点P是平分线上一点，，垂足为点D，若，则点P到边的距离是（    ）
  
A．1 B．2 C．1.5 D．4
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质直接可得．
【详解】解：如图，过点P作，垂足为点G，
    
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质；掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
3．如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：1、2块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第3块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
4．如图，点在内，且到三边的距离相等，连接．若，则的度数是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点在内，且到三边的距离相等，可知是角平分线的交点，则，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵点在内，且到三边的距离相等，
∴是角平分线的交点，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
5．如图，已知．添加一个条件后，不能证明的是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，故A不符合题意；
B、在和中，
，
∴，故B不符合题意；
C、在和中，
，
∴，故C不符合题意；
D、在和中，，，，不能得出，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法有：．
6．如图，方格纸是由9个相同的正方形组成，则与的和为（    ）
  
A．45° B．70° C．80° D．90°
【答案】D
【分析】由全等三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为．如图所示：
  





故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质．掌握相关几何结论是解题关键．
7．如图，已知（点、、的对应点分别为点、、），若，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和求出的度数，再利用全等三角形的性质得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵
∴
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和的定理，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
8．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（  ）
  
A．三角形三个内角的角平分线的交点 B．三角形三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
9．如图，平分，，于点E，，，则的长度为（   ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过C作交延长线与F，先根据角平分线的定义和全等三角形的判定与性质，证明和得到，，进而可求解．
【详解】解：过C作交延长线与F，
    
∵平分，，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，则，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
10．如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论：

①平分；
②；
③；
④．
其中结论正确的是（填写结论的编号）（   ）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】作于点，根据角平分线的判定定理和性质定理，即可判断①结论；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断②结论；先根据四边形内角和，得出，再证明，，得到，，即可判断③结论；根据全等三角形面积相等，即可判断④结论．
【详解】解：①作于点，

平分，，，

平分，，
，
，
点在的角平分线上，
平分，①结论正确；
②平分，平分，
，，
，，
，
，
，
，②结论正确；
③，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
同理可证，，
，，
，故③结论正确；
④，
，，
，故④结论不正确；
综上所述，正确的结论是①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，三角形外角的定义，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，四边形四边形，若，，，则 °．

【答案】
【分析】根据全等图形的性质，，再根据四边形的内角和为得到，进而求解即可．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键．
12．如图，要测量河两岸相对的两点的距离，先在的垂线上取两点，使，再确定出的垂线，使得点在同一条直线上，测得米，因此，的长是 米．

【答案】30
【分析】由可得，利用可以证出，再根据全等三角形，对应边相等可得到．
【详解】解：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵米，
∴米，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
13．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线，且与射线交于点C，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，连接，已知，则的度数是 ．
  
【答案】/80度
【分析】根据两把完全相同的长方形直尺，可知平分，又，进而可得的度数．再由长方形直尺可得，利用平行线的性质可求解．
【详解】解：由题意，得平分，
∴，
由长方形直尺可知：，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查角平分线的判定，平行线的性质，解题关键是掌握角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这角的平分线上．
14．如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为2时，的长为 ．

【答案】1
【分析】过E作于F，根据角平分线性质得到，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】解：过点E作于点F，如图所示．

∵平分，且，
∴．
∵，
即，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．如图，为的中线，点在的延长线上，连接，且，过点作于点，连接，若，，则的长为 ．

【答案】
【分析】过点作于点，证明，，得出，再由为的中线及，根据的面积列出关于的方程，求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点

为的中线，
，
又

，
在和中



，即
，，

为的中线，

又

解得：
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等底同高三角形的面积关系及直角三角形的面积公式，属于中档题．
16．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动．它们运动的时间为．当与全等时，的值为 ．
  
【答案】1或
【分析】由题意知当与全等，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可．
【详解】解：由题意知，，，，
与全等，，
∴分两种情况求解：
①当时，，即，解得；
②当时，，即，解得，，即，解得；
综上所述，的值是1或，
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．解题的关键在于分情况求解．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．如图，在中，，是的平分线，过点D作，若，．求的长．
  
【答案】
【分析】根据角平分线的性质定理，得，再由三角形面积公式可得结论．
【详解】解：∵AD是的平分线，，，
∴．
又，
，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形面积公式的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解答本题的关键．
18．如图，和的顶点C，E，F，B在同一直线上，点A，点D在两侧，已知，，．与全等吗？说明理由．
  
【答案】．理由见解析
【分析】根据，得到，再根据证明．
【详解】证明：，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
19．如图，已知，点在边上，与相交于点．
  
(1)若，，求线段的长；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)5
(2)

【分析】（1）由，得到，，而，即可得到；
（2）由，得到，，由三角形外角的性质得到．
【详解】（1）解：，
，，
，
；
（2）解：，
，，
，，
．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等．
20．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
  
(1)在图1中过点C作一条线段，使点C到AB所在直线的距离最短；
(2)在图2中过点C作一条直线，使点A，B到直线的距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）如图1，取格点E，作直线，作直线，交线段于点D，则线段即为所求做的线段；
（2）如图2，取线段中点O，做直线，则直线即为所求做的直线l即为所求做的直线．
【详解】（1）解：如图1，取格点E，作直线，交线段于点D，则线段即为所求做的线段；
  
证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点C到AB所在直线的距离最短；
（2）解：如图2，直线l即为所求做的直线；
  
证明：过点A作，过点B作，垂足分别为M，N,
∴，
由题意得，点O为线段中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即点A，B到直线的距离相等．
【点睛】本题考查了“垂线段最短”，点的直线的距离，全等三角形的性质与判定等知识，熟知相关知识，并结合格点三角形的知识灵活应用是解题关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，．
  
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：点在的垂直平分线上，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
解得．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
22．在中，，，点D是AC边上一点，交于点F，交直线于点E．
  
(1)如图1，当D为的中点时，证明：．
(2)如图2，若于点M，当点D运动到某一位置时恰有，则与有何数量关系，并说明理由．
(3)连接，当时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)2

【分析】（1）由题意可知，，，利用即可证明结论；
（2）先证明，再证明，即可得；
（3）过点作，可证，易得，由，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，则，
∵为的中点时，，
∴，则，
在与中，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）过点作，则，
    
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
23．如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．

(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)求的度数；
(4)若，，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)

【分析】（1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解；
（2）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论；
（3）设，分别表示出，，求出，再利用三角形内角和定理计算；
（4）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：过点分别作于，与，

平分，
，
，
平分，
，
，
平分；
（3）设，∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴；
（4），，，
，
即，
解得，
，
．
【点睛】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．（1）问题发现：如图1，射线在的内部，点B、C分别在的边、上，且，若，求证：；
（2）类比探究：如图 2，，且． （1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，在中，，．点E在边上，，点D、F在线段上，．若 的面积为，，求与的面积之比．
  
【答案】（1）证明见详解；（2）成立，证明见详解；（3）
【分析】（1）根据即可得到，，从而得到，即可得到证明；
（2）根据得到，即可得到，即可得到证明；
（3）根据 的面积为，，即可得到，，结合可得，，根据，得到，即可得到，即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵，
∴，，，
∴，
在与中，
∵，
∴；
（2）解：成立，理由如下，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
∵，
∴；
（3）解：∵ 的面积为，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
∵，
∴
∴，
∴；
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得到三角形全等的条件．
25．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．
  
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到E，使得；
②连接，通过三角形全等把、、转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______．
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（2）如图2，是的中线，是的中线，且，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．
① ② ③ ④
【问题拓展】
（3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：．
（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是______．
【答案】（1）；（2）②③；（3）见解析；（4）8
【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解；
（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论；
（4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：（1）如图1中，延长至点，使．
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，延长至，使，连接，
  
是中线，
，
又，，
，
，，
，，
，
为中线，
，
，
，
又，
，
，，
，
故答案为：②③；
（3）证明：如图3，延长至，使，连接，
  
是的中点，
，
又，，
，
，，
，
，
与互补，
，
，
又，，
，
，
；
（4）如图3，，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：8．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．