北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期10月阶段检测数学试题

1．已知集合， ，若，则的取值范围为（  B  ）．

A.     B.     C.     D.

2.与圆相切于点的直线的斜率为（ A  ）

 （A） （B） （C）  （D）

3、已知，则（D）

（A）     （B）    （C）    （D）

4.已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，.设，则满足的的取值范围是C

（A）      （B）

（C）      （D）

5. 已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（   C ）

A． B． C． D．

6、已知函数（为自然对数的底数），当时，的图象大致是（ B  ）

A．      B．

C．       D．

7、在中，内角、、所对的边分别为、、，则“”是“是以、为底角的等腰三角形”的（   B ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

8、设无穷等比数列的前项和为.若，则D

9．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】

延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，可得平面,再证明平面平面,可知在上时，符合题意，从而得到与重合时三角形的面积最小，进而可得结果.

【详解】

延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，

直线与平面不存在公共点，

所以平面,

由中位线定理可得,

在平面内，

在平面外，

所以平面,

因为与在平面内相交，

所以平面平面,

所以在上时，直线与平面不存在公共点，

因为与垂直，所以与重合时最小，

此时，三角形的面积最小，

最小值为，故选C.

10、斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．斐波那契数列满足，．给出下列四个结论：

① 存在，使得，，成等差数列；

② 存在，使得，，成等比数列；

③ 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；

④ 存在正整数，且，使得.

其中所有正确的个数是（  C  ）       

 ①③④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：

11、已知直线和直线平行，则 的值为 3   

12．已知向量的夹角为，，，则______.

【答案】

13．设等比数列的前项和为.若、、成等差数列，则数列的公比为       .（3或-1）

（14）已知函数，若对任意都有（为常数），则常数的一个取值为______． （2k+1）

（15）已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点,点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则       .

给出下列四个结论：

①；

②图2中，；

③图2中，过线段的中点且与垂直的平面与轴交于点；

④图2中，是△及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于.

（（15）   ② ③）

三、解答题：

16. （本小题13分）已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）设，证明：在上单调递增；

解：（Ⅰ）．           ………2分

所以，．         ………4分

所以曲线在点处的切线方程为．   ………6分

（Ⅱ）由题设，

．                       ………7分

所以．         ………9分

当时，因为，

所以．           ………11分

所以在上单调递增．        ………13分

17．(本小题满分13分)

设．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）比较和的大小，并说明理由；

（Ⅲ）已知在[0,a]上有极值，求实数a的取值范围。

解析：

(I)

……6分

的周期为π……7分

（Ⅱ）

（Ⅲ）

18.（本小题14分）

在△中，.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求及△的面积.

条件 ①：； ；

条件 ②：

条件 ③：.

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

解：（Ⅰ）由正弦定理得，由题设得，

        ，

因为，所以

所以.

,.                                              

（Ⅱ）选条件②：  

因为，

由正弦定理得，由余弦定理得，

解得.

所以．                           

由解得.                                             

19.（本小题15分）

已知点在椭圆上，且的离心率为．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设为椭圆的右焦点，点是上的任意一点，直线与直线相交于点，求的值．

解：（Ⅰ）由题意得解得

所以椭圆的方程为．                              ………5分

（Ⅱ）因为点是椭圆上的任意一点，所以．

　　　①当时，点或．

当点为时，直线与直线相交于点．此时．

当点为时，直线与直线相交于点．此时．

②当时，直线的方程为．

由得所以点．

所以

．

所以．

综上，．                                                ………15分

20.（本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若函数在区间上无零点，求的取值范围.

解：对求导得.

因为，所以.

由此可知，要证，只需证，即证.

    令， 

    求导得. 

令解得.

    可知与的变化情况如下表：

所以.

所以恒成立.

即原不等式成立.

（Ⅱ），

因为，所以.

所以当时，在上恒成立，符合题意.

当时，.

令，

则在上恒成立.

所以在上单调递减.

.

①当即时，在上恒成立.

所以在上单调递减.

所以在上恒成立，符合题意.

②当即时，

因为且由（Ⅱ）知，

所以.

所以，

所以存在使得，

因此与的变化情况如下表：

所以.

由（Ⅱ）中，

可以得.

令，得.

所以在区间上存在零点，不合题意，舍去.

综上，的取值范围是.

（21）（本小题15分）

给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．

设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．

（Ⅰ）判断集合是否具有性质？说明理由；

（Ⅱ）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；

（Ⅲ）若集合具有性质，证明：．

解：（Ⅰ）因为，同理．

又，同理．

所以集合具有性质．   ………4分

（Ⅱ）当时，集合中的元素个数为．由题设． ………5分

假设集合具有性质，则

①当时，，矛盾．

②当时，，不具有性质，矛盾．

③当时，．

因为和至多一个在中；和至多一个在中；

和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾．

④当时，，不具有性质，矛盾．

⑤当时，，矛盾．

综上，不存在具有性质的集合．      ………9分

（Ⅲ）记，则．

若，则，矛盾．若，则，矛盾．故．

假设存在使得，不妨设，即．

当时，有或成立．

所以中分量为的个数至多有．…11分

当时，不妨设．

因为，所以的各分量有个，不妨设．

由时，可知，，中至多有个，

即的前个分量中，至多含有个．

又，则的前个分量中，含有

个，矛盾．       

所以．         ………14分

因为，

所以．

所以．      ………15分