四川省凉山州宁南中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

宁南中学高2025届高二上期第一次月考

数学试题

考试时间：120分钟   满分：150分

一、单选题（每题5分，共40分）

1．复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限     B．第二象限         C．第三象限        D．第四象限 

2．设全集，集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知数列满足：，，，，则（   ）

A． B． C．2 D．1

4．已知向量，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．设等差数列前n项和是，若，则（    ）

A．5 B．45 C．15 D．90

6．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若＝x＋，则x＝(　　)

A．            B．                C．   D．

7．如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是（      ）

A．  B．  C．  D．  

8．泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（每题5分，共20分）

9．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列说法中正确的是（    ）

A．若，，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

10．给出下列命题，其中正确的选项有（    ）

A．已知，，则

B．若非零向量满足，则

C．若G是的重心，则点G满足条件

D．若是等边三角形，则

11．已知的角，，所对的边分别为，，，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．为等腰非等边三角形 D．为等边三角形

12．如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．线段上存在点，使平面

C．线段上存在点，使平面平面

D．设直线与平面所成角为，则的最大值为

三、填空题（每题5分，共20分）

13．设空间向量，，若，则＝_______．

14．数列的前n项和为，且，则            __．

15．一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则_______.

16．已知，则      ．

四、解答题（17题10分，其余每题12分,共70分）

17．已知数列是等差数列，且.

(1)求的通项公式；

(2)若数列的前项和为，求的最小值.

18．一汽车厂生产三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆，其中有类轿车辆．

(1)求抽取的轿车中，类轿车的数量；

(2)求的值；

(3)用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为的样本．将该样本看成一个总体，从中任取辆，求至少有辆舒适型轿车的概率．

19．已知函数的图像如图所示.

(1)求的解析式及对称中心；

(2)将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数，求函数在上的值域.

20．四边形为菱形，平面，，，．   

(1)设中点为，证明：平面；

(2)求平面与平面的夹角的大小．

21．插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物自然美的一种造型艺术，与建筑、盆景等艺术形式相似，是最优美的空间造型艺术之一。为了通过插花艺术激发学生对美的追求，某校举办了以“魅力校园、花香溢校园”为主题的校园插花比赛。比赛按照百分制的评分标准进行评分，评委由10名专业教师、10名非专业教师以及20名学生会代表组成，各参赛小组的最后得分为评委所打分数的平均分.比赛结束后，得到甲组插花作品所得分数的频率分布直方图和乙组插花作品所得分数的频数分布表，如下所示：

定义评委对插花作品的“观赏值”如下所示：

(1)估计甲组插花作品所得分数的中位数（结果保留两位小数）；

(2)估计乙组插花作品所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)从40名评委中随机抽取1人进行调查，试估计其对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏值”高的概率.

22．设的内角的对边分别是，且.

(1)求角；

(2)若点在边上，平分，且，求面积的最小值.

宁南中学2025届高二上期第一次月考

参考答案

一、选择题（每题5分，共60分）

1．B   2．C  3．D   4．A  5．B  6．C  7．C  8．A

二、多选题

9．AD  10．BC  11．ABD  12．ABD

三、填空题

13．【答案】3        14．【答案】      15．【答案】 33     16．【答案】

四、解答题

17．【解】（1）设的公差为，则，解得，

所以；

（2）由（1）知；得.

当时，有最小值-105.

18．【解】（1）根据分层抽样原则知：类轿车的数量为.

（2）由（1）得：抽取的类轿车的数量为，

根据分层抽样原则知：，解得：.

（3）根据分层抽样原则可知：抽取的个样本中，舒适型有辆，记为；标准型有辆，记为；

从个样本中任意抽取个，则有，，，，，，，，，，共个基本事件；

其中至少有个舒适型的基本事件有：，，，，，，，共个基本事件；所求概率.

19．【解】（1）由图可知，，，.

当时，，，，.

又，.综上，的解析式为.

对称中心为.

（2）由题可知，

当时，.

在上的值域为.

20．【解】（1）四边形为菱形，且，中点为，所以．

因为，所以，

因为平面，平面，所以．

又，，平面，所以平面；

（2）设交于点，取中点，连接，所以，底面．以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

 因为，所以，

所以，，，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为，则，令，得；

，，平面的一个法向量为，

则，令得；

所以，

所以平面与平面的夹角的大小为．

21.【解】（1）设甲组插花作品所得分数的中位数为，

由频率分布直方图可得甲组得分在前三个分数区间的频率之和为0.3，在最后三个分数区间的频率之和为0.26，故，

所以，解得.

即估计甲组插花作品所得分数的中位数为85.82

（2）由乙组插花作品所得分数的频率分布表，得下表

所以乙组插花作品的最后得分约为

.

（3）设“对乙组插花作品的‘观赏值’比对甲组插花作品的‘观赏值’高”为事件，

“对乙组插花作品的‘观赏值’为2”为事件，

“对乙组插花作品的‘观赏值’为3”为事件，

“对甲组插花作品的‘观赏值’为1”为事件，

“对甲组插花作品的‘观赏值’为2”为事件，

则.

，，

由频数分布表得，，.

因为事件与相互独立，其中，，所以

，

22.【解】（1），

由正弦定理可得，，

，

，，

（*）

又，等式（*）两边同时除以得

，，

，或；

又，故，.

（2）因为，平分，，又，

则由，得，

所以，

又，则，解得，

当且仅当时，等号成立，

所以，故最小值为.