高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 直线的方程第三课时复习练习题

第一章第3课时　直线方程的一般式、点法式

A级 必备知识基础练

1.已知直线l经过点(-1,4),且它的一个方向向量为n=(-2,4),则(　　)

A.直线l的点斜式方程为y-4=-(x+1)

B.直线l的斜截式方程为x=-y+1

C.直线l的截距式方程为x+=1

D.直线l的一般式方程为x+2y-7=0

2.点M(x0,y0)是直线Ax+By+C=0上的点,则直线方程可表示为(　　)

A.A(x-x0)+B(y-y0)=0

B.A(x-x0)-B(y-y0)=0

C.B(x-x0)+A(y-y0)=0

D.B(x-x0)-A(y-y0)=0

3.[2023湖北江夏一中高二校联考期末]若直线l的一个方向向量是n=(,1),则直线l的倾斜角是(　　)

A. B. 

C. D.

4.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为(　　)

A.-,-1 

B.,-1

C.-,1 

D.,1

5.写出直线l:2x-y-1=0的一个法向量a=　　　　. 

6.已知直线(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在x轴上的截距为3,则该直线在y轴上的截距为　　　　　. 

7.若直线mx-y+(2m+1)=0恒过定点,则此定点是　　　　. 

8.在y轴上的截距为-6,且倾斜角为45°的直线的一般式方程为　　　　　　　　　　. 

9.根据下列条件分别写出直线方程,并化成一般式:

(1)斜率是,经过点A(8,-2);

(2)经过点B(-2,0),且与x轴垂直;

(3)斜率为-4,在y轴上的截距为7;

(4)经过点A(-1,8),B(4,-2).

B级 关键能力提升练

10.已知两直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在平面直角坐标系中的位置如图所示,则(　　)

A.b>0,d<0,a<c B.b>0,d<0,a>c

C.b<0,d>0,a>c D.b<0,d>0,a<c

11.直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,而且它的斜率是直线x-y=3的斜率的相反数,则(　　)

A.m=-,n=1 B.m=-,n=-1

C.m=,n=-1 D.m=,n=1

12.[2023广东广州天河中学高二期末]已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y+m=0经过定点P,直线l'经过点P,且l'的方向向量a=(3,2),则直线l'的方程为(　　)

A.2x-3y+5=0 B.2x-3y-5=0

C.3x-2y+5=0 D.3x-2y-5=0

13.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.0, B.0,∪,π

C.,π D.,π

14.(多选题)若直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的斜率为(　　)

A.1 B.-1 C.-2 D.2

15.过点P(-1,0)且与直线l1:x-y+2=0夹角为的直线的一般式方程是　　　　　　　　. 

16.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是　　　　　　　　. 

17.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).

(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;

(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.

C级 学科素养创新练

18.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)证明:直线l过定点;

(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;

(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.

参考答案

第3课时　直线方程的一般式、点法式

1.C　因为直线l的一个方向向量为n=(-2,4),所以直线l的斜率k==-2.因为直线l经过点(-1,4),所以直线l的点斜式方程为y-4=-2(x+1),斜截式方程为y=-2x+2,截距式方程为x+=1,一般式方程为2x+y-2=0.

2.A

3.A　设直线l的倾斜角为α,因为直线l的一个方向向量是n=(,1),所以直线l的斜率k=tanα=因为α∈[0,π),所以α=

4.A　原方程化为=1,=-1,∴b=-1.又直线ax+by-1=0的斜率k=-=a,且x-y-=0的倾斜角为60°,∴k=tan120°=-,∴a=-,故选A.

5.(2,-1)(答案不唯一)

6.-　由题知直线经过(3,0),代入已知方程,得(a+2)×3-2a=0,∴a=-6,∴直线方程为-4x+45y+12=0,令x=0,得y=-即该直线在y轴上的截距为-

7.(-2,1)　8.x-y-6=0

9.解 (1)由点斜式,得y+2=(x-8),化简,得x-y-8-2=0.

(2)直线方程为x=-2,即x+2=0.

(3)由斜截式,得y=-4x+7,化成一般式为4x+y-7=0.

(4)由两点式,得,化成一般式为2x+y-6=0.

10.C　由题图可知直线l1,l2的斜率k1,k2都大于0,即k1=->0,k2=->0且k1>k2,所以a<0,c<0且a>c.又l1在y轴上的截距-<0,l2在y轴上的截距->0,所以b<0,d>0,故选C.

11.D

12.A　直线l的方程可变形为x+y+m(2x+y+1)=0,解即P点坐标为(-1,1).因为a=(3,2),所以直线l'的斜率为又l'过点P(-1,1),代入点斜式方程可得y-1=(x+1),整理可得2x-3y+5=0.

13.D

14.BD　由题得直线l斜率为-a,当直线ax+y-2-a=0过原点时,可得a=-2,此时直线l在x轴和y轴上的截距都为0,相等.当直线ax+y-2-a=0不过原点时,由题意知,当a=0时,直线l与x轴无交点.当a≠0时,直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距2+a相等,可得=2+a,解得a=1或a=-2(舍).

综上知,a=-2或1.所以直线l的斜率为-1或2.

15.x+1=0或x-y+1=0　直线l1的倾斜角为β∈[0,π)且tanβ=,则β=,又所求直线与直线l1的夹角为,则所求直线的倾斜角为,当所求直线倾斜角为时,直线为x=-1;当所求直线倾斜角为时,直线为y=(x+1),故直线为x-y+1=0.

综上,所求直线为x+1=0或x-y+1=0.

16.2x+y+1=0　∵点A(2,1)在直线a1x+b1y+1=0上,∴2a1+b1+1=0.由此可知点P1(a1,b1)在直线2x+y+1=0上.∵点A(2,1)在直线a2x+b2y+1=0上,∴2a2+b2+1=0.由此可知点P2(a2,b2)也在直线2x+y+1=0上,∴过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是2x+y+1=0.

17.解 (1)当直线l过原点时,直线l在x轴和y轴上的截距都为零,显然相等,所以a=2,方程为3x+y=0.当直线l不过原点时,由截距存在且均不为0,得=a-2,解得a=0,所以直线l的方程为x+y+2=0.

综上所述,所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.

(2)将直线l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,所以由l不经过第二象限可得解得a≤-1.

综上,实数a的取值范围为(-∞,-1].

18.(1)证明 直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,

故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1).

(2)解 直线l的方程可化为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则故k的取值范围是[0,+∞).

(3)解 依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,且k>0,所以A-,0,B(0,1+2k),故S=|OA||OB|=(1+2k)=4k++4(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,等号成立,故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.