数学选择性必修 第一册2.2 圆的一般方程课后练习题

第一章2.2　圆的一般方程

A级 必备知识基础练

1.若a∈-2,0,,1,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为(　　)

A.0 B.1 

C.2 D.3

2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是(　　)

A.x2+y2+4x-2y-5=0 

B.x2+y2-4x+2y-5=0

C.x2+y2+4x-2y=0 

D.x2+y2-4x+2y=0

3.[2023新疆乌鲁木齐第十九中学高二期末]已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为(　　)

A.x2+y2-6x-6y-16=0 

B.x2+y2-2x+2y-8=0

C.x2+y2-6x-6y+8=0 

D.x2+y2-2x+2y-56=0

4.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是　　　　　,半径是　　　　　. 

5.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是　　　　　　. 

6.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=　　　　. 

B级 关键能力提升练

7.已知圆C:x2+y2=4,则圆C关于直线l:x-y-3=0对称的圆的方程为(　　)

A.x2+y2-6x+6y+14=0

B.x2+y2+6x-6y+14=0

C.x2+y2-4x+4y+4=0

D.x2+y2+4x-4y+4=0

8.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则实数a的值为(　　)

A.0或2 B.0或-2

C.0或 D.-2或2

9.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为(　　)

A. B.5 C.2 D.10

10.[2023吉林吉林一中高二期末]若直线l将圆x2+y2-2x-4y-4=0平分,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为　　　　　　　　　　. 

11.点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.

(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;

(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.

C级 学科素养创新练

12.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.

(1)求圆M的方程.

(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.

参考答案

2.2　圆的一般方程

1.B　根据题意,若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得-2<a<又a∈-2,0,,1,则a=0.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为1.

2.C　设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得=-2,=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.

3.C　设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为-,-,因为圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,所以解得所以圆C的方程为x2+y2-6x-6y+8=0.

4.(-2,1)　

5.(-∞,8)　由题意知,直线y=x+b经过圆心,而圆心坐标为(-2,3),代入直线方程,得b=5.所以圆的方程化为标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13-a,所以a<13,由此得a-b<8.

6

7.A　设圆心C(0,0)关于直线l:x-y-3=0的对称点为D(a,b),则由解得所以所求的圆的标准方程为(x-3)2+(y+3)2=4,化为一般方程为x2+y2-6x+6y+14=0.

8.A

9.B　由题意得直线l过圆心M(-2,-1),则-2a-b+1=0,即b=-2a+1.所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.

10.2x-y=0或x+y-3=0　圆x2+y2-2x-4y-4=0化为(x-1)2+(y-2)2=9,圆的圆心坐标为(1,2),半径为3.由直线l将圆x2+y2-2x-4y-4=0平分,则直线l经过圆心(1,2).若在两坐标轴上的截距都为0,则直线过坐标原点,此时直线斜率为2,直线l的方程为y=2x,即2x-y=0;若在两坐标轴上的截距都不为0,设直线方程为=1(a≠0),代入(1,2),得=1,可得a=3.∴直线l的方程为=1,即x+y-3=0,

综上所述:直线l的方程为2x-y=0或x+y-3=0.

11.解 (1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y).因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.

(2)设线段PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,整理可得线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.

12.解 (1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),

解得D=0,E=3-a,F=-3a.

∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.

(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.

由解得x=0,y=-3.

∴无论a取何值,圆M恒过定点(0,-3).