北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线与圆的位置关系综合训练题

第一章2.3　直线与圆的位置关系

A级 必备知识基础练

1.[2023重庆沙坪坝第七中学校高二期末]直线y=kx+1与圆x2+y2+2y-3=0的位置关系是(　　)

A.相交 B.相切

C.相离 D.相交或相切

2.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于(　　)

A.或- B.-或3

C.-3 D.-3或3

3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是(　　)

A.6 B.3 C.2 D.8

4.(多选题)[2023山东菏泽鄄城县第一中学高二期末]已知直线l与直线3x-4y+6=0平行,且与圆C:(x-1)2+(y+1)2=9相切,则直线l的方程是(　　)

A.3x-4y+8=0 B.3x-4y-8=0

C.3x-4y-22=0 D.3x-4y+22=0

5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(　　)

A.10 B.20 C.30 D.40

6.若直线l:y=k(x-2)被圆(x-2)2+(y-3)2=9截得的线段长为2,则实数k=　　　　. 

B级 关键能力提升练

7.(多选题)已知点A是直线l:x+y-=0上一定点,点P,Q是圆x2+y2=1上的动点,若∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标可以是(　　)

A.(0,) B.(1,-1)

C.(,0) D.(-1,1)

8.[2023山西统考一模]经过A(2,0),B(0,2),C(2,4)三点的圆与直线kx-y+2-4k=0的位置关系为(　　)

A.相交 B.相切

C.相交或相切 D.无法确定

9.(多选题)在平面直角坐标系Oxy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

10.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|·|CD|的最小值为　　　　. 

11.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的长为　　　　　. 

12.已知圆C过点A(0,-2),B(3,-1),且圆心C在直线x+y+1=0上.

(1)求圆的标准方程;

(2)过(1,0)点的直线l截圆所得的弦长为4,求直线l的方程.

C级 学科素养创新练

13.如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上,且要求PQ与圆形商城A也相切.

(1)当P距O处4千米时,求OQ的长;

(2)当公路PQ长最短时,求OQ的长.

参考答案

2.3　直线与圆的位置关系

1.D　∀k∈R,当x=0时,恒有y=1,即直线y=kx+1过定点A(0,1),在圆x2+y2+2y-3=0中,当x=0,y=1时,方程x2+y2+2y-3=0成立,即点A(0,1)在圆x2+y2+2y-3=0上,所以直线y=kx+1与圆x2+y2+2y-3=0的位置关系是相交或相切.

2.C　3.A

4.AC　由圆的方程可知:圆心C(1,-1),半径r=3.设直线l:3x-4y+m=0(m≠6),则圆心C到直线l的距离d==3,解得m=8或m=-22,∴直线l的方程为3x-4y+8=0或3x-4y-22=0.

5.B

6.±　由(x-2)2+(y-3)2=9,可知圆心为(2,3),半径为3,又直线l:kx-y-2k=0,所以圆心到直线l的距离为d=,所以2+12=9,解得k2=,即k=±

7.AC　如图所示,圆心到直线l的距离为d==1,则直线l与圆x2+y2=1相切.

由图可知,当AP,AQ均为圆x2+y2=1的切线时,∠PAQ最大.

连接OP,OQ,由于∠PAQ最大为90°,且∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,

故四边形APOQ为正方形,所以|OA|=|OP|=

设点A的坐标为(t,-t+),

由两点间的距离公式,得|OA|=,

整理得t2-t=0,解得t=0或t=,

因此点A的坐标为(0,)或(,0).

8.A　由题知,圆过A(2,0),B(0,2),C(2,4)三点,因为=(2,-2),=(2,2),所以=(2,-2)·(2,2)=0,即所以该圆是以AC为直径的圆,可得圆心为,即(2,2),半径r==2,故圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.因为直线方程为kx-y+2-4k=0,所以圆心到直线的距离d=,当k=0时,有d=0<2=r,所以圆与直线相交,当k≠0时,有d=<2=r,所以圆与直线相交.

9.AB　圆的方程x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4.因为过点P所作的圆的两条切线相互垂直,所以点P,圆心C,圆的两切点是构成一个正方形的四个顶点,所以PC=2因为点P在直线y=k(x+1)上,所以圆心到直线的距离d=2,解得-2k≤2符合条件的选项为A,B.

10.4　直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,由得x=y=1,即直线l恒过定点P(1,1).

∵C,D分别为OA,AB的中点,∴|CD|=|OB|=,

当OP⊥AB时,|AB|最小,

此时|AB|=2=2,

∴|AB|·|CD|=|AB|2=4

11.4　圆的方程化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=5,示意图如图所示.则圆心为O'(3,4),r=

切线长|OP|=

=2

∴|PQ|==2=4.

12.解 (1)由题知AB的中点坐标为,-,直线AB的斜率为k=,所以线段AB的垂直平分线的斜率为-=-3.所以线段AB的垂直平分线方程为3x+y-3=0,联立方程解得所以圆心C(2,-3).又A(0,-2),求得r=|AC|=,因此圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5.

(2)因为直线l截圆所得的弦长为4,圆的半径为r=,依题可得圆心到直线的距离d==1.设直线l的斜率为k,当k不存在时,l:x=1,此时d=1,符合题意;当k存在时,l:y=k(x-1),此时d==1,解得k=-,直线l:y=-(x-1),整理得4x+3y-4=0.

综上,直线l的方程为x=1或4x+3y-4=0.

13.解 (1)以O为原点,直线l,m分别为x,y轴建立平面直角坐标系.设点Q坐标为(0,b),设PQ与圆A相切于点B,连接AB(图略),以1千米为单位长度,则圆A的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,由题意可设直线PQ的方程为=1(b>2),即bx+4y-4b=0,

∵PQ与圆A相切,=1,解得b=3,故当P距O处4千米时,OQ的长为3千米.

(2)设P(a,0),Q(0,b)(a>2,b>2),则直线PQ方程为=1,即bx+ay-ab=0.因为直线PQ与圆A相切,所以=1,化简得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2;因此|PQ|=

因为a>2,b>2,所以a+b>4,于是|PQ|=a+b-2.又ab=2(a+b)-2,解得0<a+b≤4-2,或a+b≥4+2因为a+b>4,所以a+b≥4+2,

|PQ|=a+b-2≥2+2,当且仅当a=b=2+时,等号成立,

所以PQ最小值为2+2,此时a=b=2+

答:当公路PQ最短时,OQ的长为2+千米.