北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 直线与圆锥曲线的交点习题

第二章§4　直线与圆锥曲线的位置关系

4.1　直线与圆锥曲线的交点

A级 必备知识基础练

1.(多选题)过抛物线x2=my(m≠0)的焦点且与y轴垂直的直线与抛物线交于A,B两点,若△ABO的面积为2,则m的值可能为(　　)

A.4 B.-4 C.2 D.-2

2.椭圆=1(a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为(　　)

A. B.-1 C. D.-1

3.直线y=x+b交抛物线y=x2于A,B两点,O为抛物线顶点,若OA⊥OB,则b的值为(　　)

A.-1 B.0 C.1 D.2

4.若直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长为2,则l与曲线+y2=1的公共点个数为(　　)

A.1 B.2

C.1或2 D.1或0

B级 关键能力提升练

5.抛物线y2=2px与直线ax+y-4=0交于A,B两点,其中点A的坐标是(1,2).若抛物线的焦点为F,则|FA|+|FB|等于(　　)

A.5 B.6 C.3 D.7

6.已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆C:=1(b>0)总有公共点,则椭圆C的离心率取值范围是(　　)

A.0, B.0, C.0, D.0,

7.(多选题)若直线y=kx+2与抛物线y2=x只有一个公共点,则实数k的值可以为(　　)

A. B.0 C.8 D.-8

8.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线l与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是(　　)

A.(-∞,-)∪(,+∞) 

B.(2,+∞)

C.(-∞,-2) 

D.(-)

9.经过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点,倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点,则该双曲线的离心率为　　　　. 

10.[2023河南南阳高三统考期末]过抛物线y2=4x的焦点F的直线与该抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则直线AB的斜截式方程为　. 

11.在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为　　　　　. 

C级 学科素养创新练

12.已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B,C两点,当直线l的斜率是时,=4.

(1)求抛物线G的方程.

(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.

参考答案

§4　直线与圆锥曲线的位置关系

4.1　直线与圆锥曲线的交点

1.AB　由题设,抛物线焦点为0,,则A,B坐标为±,故|AB|=|m|,所以S△ABO=|m|=2,可得m=±4.

2.D

3.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x+b代入y=x2,化简可得x2-2x-2b=0,故x1+x2=2,x1x2=-2b,所以y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2=b2.又OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即-2b+b2=0,则b=2或b=0,经检验b=0时,不符合题意,故b=2.

4.C　∵直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长为2,∴圆心到直线l的距离为1.∴直线l是圆x2+y2=1的切线.∵圆x2+y2=1内切于曲线+y2=1,∴直线l与曲线+y2=1相切或相交.

5.D　6.D　7.AB　8.A　9.2

10.y=x-或y=-x+　由题知,直线AB斜率存在且不为0.因为抛物线y2=4x,所以焦点F(1,0).不妨设直线AB方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m①,y1·y2=-4②.因为|AF|=3|BF|,且A,B,F三点共线,所以=3,即(1-x1,-y1)=3(x2-1,y2),即-y1=3y2③,将①③联立,可得y1=6m,y2=-2m,代入②中有-12m2=-4,解得m=±,代入直线方程有x=y+1或x=-y+1,则直线AB的斜截式方程为y=x-或y=-x+

11　抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),直线l:y=(x-1).联立解得A(3,2),B,-.所以S△OAF=1×2

12.解 (1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是时,l的方程为y=(x+4),即x=2y-4,

联立消去x得2y2-(8+p)y+8=0,

=4,∴y2=4y1,由上述表达式及p>0得y1=1,y2=4,p=2,则抛物线的方程为x2=4y.

(2)由题意可设直线l:y=k(x+4),BC的中点坐标为(x0,y0).

联立消去y得x2-4kx-16k=0,

∴x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k,

∴线段BC的垂直平分线方程为y-2k2-4k=-(x-2k),

∴线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b=2k2+4k+2=2(k+1)2,

由Δ=16k2+64k>0得k>0或k<-4.∴b∈(2,+∞).