北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 直线与圆锥曲线的综合问题练习

第二章4.2　直线与圆锥曲线的综合问题

A级 必备知识基础练

1.已知椭圆=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)

A.- B. C.-2 D.2

2.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(　　)

A.x=1 B.x=-1

C.x=2 D.x=-2

3.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且=0,则下列结论正确的是(　　)

A.双曲线C的渐近线方程为y=±x

B.△PF1F2的面积为1

C.点F1到双曲线的一条渐近线的距离为2

D.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1

4.过双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为　　　　　　. 

B级 关键能力提升练

5.若椭圆=1的弦AB的中点为(-1,-1),则弦AB的长为(　　)

A. B. C. D.

6.设F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过点F2作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则双曲线C的离心率为(　　)

A. B.2 C. D.

7.[2023江苏苏州常熟中学高二期末]已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,过左焦点且与实轴垂直的弦长为1,A,B分别是双曲线的左、右顶点,点P为双曲线右支上位于第一象限的动点,若PA,PB所在直线的斜率分别为k1,k2,则k1+k2的取值范围是(　　)

A.,+∞ B.,+∞

C.(1,+∞) D.(,+∞)

8.已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足=2,||=||,则该椭圆的离心率是(　　)

A. B. C. D.

9.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆=1(a>b>0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个说法中正确的是(　　)

A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-

B.>0

C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为

D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线

C级 学科素养创新练

10.在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2.

(1)求点M的轨迹C的方程;

(2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点.

参考答案

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题

1.A　2.B

3.AB　对于A,双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x,所以A正确;

对于B,由双曲线C:x2-y2=1,可得a=1,b=1,c=,则F1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则=(--x,-y),=(-x,-y),由=(--x)(-x)+(-y)2=0,得x2+y2=2.因为点P在双曲线上,所以点P坐标满足x2-y2=1,解得|y|=,所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y|=2=1,所以B正确;

对于C,点F1(-,0)到双曲线其中一条渐近线x-y=0的距离为d==1,且等于到另一条渐近线的距离,所以C错误;

对于D,由于F1(-,0),F2(,0),所以以F1F2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为,所以圆的方程为x2+y2=2,所以D错误.

4.(1,)

5.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),由中点为(-1,-1)可得x1+x2=-2,y1+y2=-2.

因为点A,B在椭圆上,所以两式相减整理,得=0,解得弦AB所在直线的斜率为-,所以弦AB所在直线的方程为y=-(x+1)-1,联立椭圆方程消去y得到3x2+6x+1=0,根据弦长公式得|AB|=

6.C　不妨设该渐近线的方程为bx-ay=0,则直线PF2的方程为ax+by-ac=0,

联立可得P.

由F1(-c,0)及|PF1|=|OP|,得,

化简可得3a2=c2,则e=

7.C　根据题意,知e==1,解得a=2,b=1,c=,双曲线方程为-y2=1,则A(-2,0),B(2,0).设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则=1,k1+k2=,根据双曲线的几何性质,知0<,即0<<1,两边同时取倒数,可得>1,故k1+k2=>1.

8.B

9.BC　设P(x0,y0),代入椭圆方程得=1,则=-,因此A不正确;

∵点P在圆x2+y2=b2外,

-b2>0,

=(-x0,-b-y0)·(-x0,b-y0)=-b2>0,B正确;

当点P在长轴端点上时,∠B1PB2最小且为锐角,设椭圆的右顶点为A,△PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=r,

∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为,C正确;

直线PB1的方程为y+b=x,直线QB2的方程为y-b=x,两式相乘可得y2-b2=x2,化简得=1,由于点P不与B1,B2重合,∴M的轨迹为双曲线的一部分,∴D不正确.

10.(1)解 设M(x,y),又A(-2,2),B(2,2),则kAM-kBM==-2,可得点M满足方程x2=2y(x≠±2),则M的轨迹C的方程为x2=2y(x≠±2).

(2)证明 设Pm,,Qn,,m≠±2,n≠±2,又A(-2,2),可得kAP·kAQ==-2,即有mn-2(m+n)=-12,即mn=2(m+n)-12,直线l的斜率为kPQ=,可得直线l的方程为y-(x-m),化为y=x-,可得y-6=(x-2),可得直线l恒过定点(2,6).