数学北师大版 (2019)2.2 空间向量的运算课后测评

第三章§2　空间向量与向量运算

2.1　从平面向量到空间向量　2.2　空间向量的运算

A级 必备知识基础练

1.如图,在四棱柱的上底面ABCD中,,则下列向量相等的是(　　)

A. B. 

C. D.

2.[2023广东东莞期末]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=(　　)

A. B.

C. D.

3.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　　)

A.-6 B.6 C.3 D.-3

4.[2023江西湾里期中]已知非零向量a=3m-2n-4p,b=(x+1)m+8n+2yp,且m,n,p不共面.若a∥b,则x+y=(　　)

A.-13 B.-5 C.8 D.13

5.已知空间向量a,b,c两两夹角为60°,其模都为1,则|a-b+2c|=　　　　　. 

6.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,m⊥n,则λ=　　　　　. 

7.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.

8.如图所示,已知S是边长为1的正三角形ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC=1,M,N分别是AB,SC的中点,求异面直线SM与BN所成角的余弦值.

B级 关键能力提升练

9.在四面体A-BCD中,点F在AD上,且AF=2FD,E为BC中点,则=(　　)

A. 

B.-

C. 

D.-

10.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=,且a与2b-a互相垂直,则<a,b>=(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

11.[2023辽宁沈河校级期末]已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则的值为(　　)

A. B. C. D.

12.在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为正方形,AB=AD=SA=1,且SA⊥底面ABCD,则向量在平面ABCD上的投影向量是　　　　　,=　　　　　. 

13.[2023山东兰山校级月考]如图,四面体A-BCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,则||=　　　　　;||=　　　　　. 

14.如图,在正四面体A-BCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=ND,求线段MN的长.

C级 学科素养创新练

15.如图所示,已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°.

(1)求线段AC'的长;

(2)求的夹角的余弦值.

参考答案

§2　空间向量与向量运算

2.1　从平面向量到空间向量

2.2　空间向量的运算

1.D　因为,所以四边形ABCD为平行四边形.

所以

2.B　∵ABCD-A1B1C1D1为平行四面体,

故选B.

3.B

4.B　∵m,n,p不共面,又a∥b,故存在λ≠0,使得b=λa,即(x+1)m+8n+2yp=3λm-2λn-4λp,解得则x+y=-5.故选B.

5　因为|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,所以|a-b+2c|2=a2+b2+4c2-2a·b-4b·c+4a·c=5,所以|a-b+2c|=

6.-

7.解 )=a=)-a=(b-a+c-a)-a=-a+b+c;

)-b+c-a.

8.解 设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c三个向量两两夹角均为60°,

所以a·b=b·c=a·c=因为)·()=(a+b)·c-b=a·c-a·b+b·c-b2=-1=-

设异面直线SM与BN所成角为α.

所以cosα=|cos<>|=所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为

9.B　如图,在四面体A-BCD中,点F在AD上,且AF=2FD,E为BC中点,所以=-,

即=-

故选B.

10.B

11.D　∵空间四边形ABCD的每条边及AC,BD的长都为a,∴四面体是正四面体,且每个面都是等边三角形.∵点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,=()a2×-+a2a2a2.

故选D.

12　-1　如图,∵SA⊥底面ABCD,∴向量在平面ABCD上的投影向量是

∵SA⊥底面ABCD,

=0.

∵四边形ABCD为正方形,AB=AD=SA=1,

=()=-=-()=-=-1.

13　

取BD的中点H,连接AH,CH,

∵四面体A-BCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,

∴AH⊥BD,CH⊥BD,∴AH∩CH=H,∴BD⊥平面ACH.

∵AC⊂平面AHC,∴AC⊥BD.

过点C作CG∥BD,使CG=EF,则,

∴AC⊥CG,且AC=2,CG=BC=1,

∴||=||=||=

∵点E,F分别为棱AB,AD的中点,

,∴||=,

则||==||=||=

14.解 +()+)=-,

-=a2-a2cos60°-a2cos60°+a2cos60°=a2,故||=a,即线段MN的长为a.

15.解 (1),

∴||2=()2=||2+||2+||2+2()=42+32+52+2×(0+10+7.5)=85.

∴||=,即线段AC'的长为

(2)设=a,=b,=c,依题意=(a+b+c)·(a+b)=a2+2a·b+b2+a·c+b·c=16+0+9+4×5×cos60°+3×5×cos60°=16+9+10+

∴cos<>=