高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4. 1 直线的方向向量与平面的法向量当堂达标检测题

第三章§4　向量在立体几何中的应用

4.1　直线的方向向量与平面的法向量

A级 必备知识基础练

1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　)

A. B. C. D.

2.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个单位法向量为(　　)

A. B.

C. D.

3.下列说法中不正确的是(　　)

A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量

B.一个平面的所有法向量互相平行

C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直

D.如果向量a,b与平面α共面,且向量n满足n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量

4.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则(　　)

A.x=6,y=15 B.x=3,y=

C.x=3,y=15 D.x=6,y=

5.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),下列结论正确的有(　　)

A.AP⊥AB 

B.AP⊥AD

C.是平面ABCD的一个法向量 

D.

6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM的位置关系是　　　　　. 

7.[2023广东江门高二期末]如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)求平面ABB1A1的一个法向量;

(2)求平面MBD1的一个法向量.

8.设有三点A(1,2,-1),B(0,3,1),C(4,-1,2),求:

(1)△ABC的面积S;

(2)与向量同时垂直的单位向量.

B级 关键能力提升练

9.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为(　　)

A.-1,2 B.1,-2

C.1,2 D.-1,-2

10.(多选题)已知空间中三点A(0,1,0),B(1,2,0),C(-1,3,1),则正确的说法有(　　)

A.是共线向量

B.的单位向量是(1,1,0)

C.夹角的余弦值是-

D.平面ABC的一个法向量是(1,-1,3)

11.(多选题)已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是(　　)

A.(1,-4,2) 

B.

C. 

D.(0,-1,1)

12.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.平面OCB1的法向量n=(x,y,z)为(　　)

A.(0,1,1) 

B.(1,-1,1) 

C.(1,0,-1) 

D.(-1,-1,1)

13.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一点,则点P的坐标满足的方程是　　　　　　　　. 

14.已知O为坐标原点,四面体OABC的顶点A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直线BD∥CA,并且与坐标平面xOz相交于点D,则点D的坐标为　　　　　. 

15.如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=AD=DC,底面ABCD为正方形,E为PC的中点,点F在PB上,问点F在何位置时,为平面DEF的一个法向量?

C级 学科素养创新练

16.已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置.

参考答案

§4　向量在立体几何中的应用

4.1　直线的方向向量与平面的法向量

1.D　如图,

∵CC1,AA1,BB1均垂直于平面ABC,故选项D中可以作为平面ABC的法向量.故选D.

2.B　设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有取x=1,则y=-2,z=2,所以n=(1,-2,2).因为|n|=3,所以平面ABC的一个单位法向量可以是

3.D　选项A,B,C的说法显然正确.对于D选项,只有当a,b不共线且a∥α,b∥α时,才能得出结论.依据是线面垂直的判定定理:与平面内两条相交直线都垂直的直线垂直于相交直线所在的平面.故选D.

4.D

5.ABC　因为=-2-2+4=0,所以AP⊥AB,A正确;因为=-4+4=0,所以AP⊥AD,B正确;由AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,可得是平面ABCD的一个法向量,C正确;直线BD在平面ABCD内,则AP⊥BD,D错误.故选ABC.

6.PM⊥AM　以D点为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

可得D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0).

=(,2,0)-(0,1,)=(,1,-),=(,2,0)-(2,0,0)=(-,2,0),

由此可得=(,1,-)·(-,2,0)=-+1×2+0×(-)=0,

即,可得AM⊥PM.

7.解 (1)因为x轴垂直于平面ABB1A1,所以n1=(1,0,0)是平面ABB1A1的一个法向量.

(2)因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,CM=2MC1,所以M,B,D1的坐标分别为(0,3,2),(3,3,0),(0,0,3),因此=(3,0,-2),=(0,-3,1),

设n2=(x,y,z)是平面MBD1的法向量,则n2,n2,所以取z=3,则x=2,y=1.于是n2=(2,1,3)是平面MBD1的一个法向量.

8.解 (1)∵A(1,2,-1),B(0,3,1),C(4,-1,2),

=(-1,1,2),=(3,-3,3),||=,||==3,

=-3-3+6=0,则AB⊥AC,

可得△ABC的面积S=3

(2)设与向量同时垂直的向量为m=(x,y,z),

由取y=1,可得m=(1,1,0)=,0,∴与向量同时垂直的单位向量为n=,0.

9.A

10.CD　=(1,1,0),=(-1,2,1),,显然不共线,A错误;

的单位向量,即,0,B错误;

=(-2,1,1),cos<>==-,C正确;

设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则

令x=1,得n=(1,-1,3),D正确.故选CD.

11.ABC

12.C　∵四边形ABCD是正方形,且AB=,

∴AO=OC=1,∴OA1=1,

∴A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),

=(1,1,0),=(0,1,0).

又=(1,1,0),∴B1(1,1,1),=(1,1,1).

∵平面OCB1的法向量为n=(x,y,z),

则得y=0,x=-z,结合选项,可得n=(1,0,-1),故选C.

13.x-y+2z+1=0

14.(2,0,5)　由题意可设点D的坐标为(x,0,z),则=(x-2,-2,z),=(0,-2,5),

∵直线BD∥CA,解得点D的坐标为(2,0,5).

15.解 以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,设DA=2,

则D(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),

∴E(0,1,1),∵B(2,2,0),

=(2,2,-2).

设F(x,y,z),=,

∴(x,y,z-2)=λ(2,2,-2),

∴F(2λ,2λ,2-2λ),=(2λ,2λ,2-2λ).

=0,

∴4λ+4λ-2(2-2λ)=0,∴λ=,

∴F为线段PB的一个三等分点(靠近P点).

16.解 以点D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

根据题意可设DA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),

则M

又因为PM∥平面BB1D1D,根据空间向量基本定理知,必存在实数对(m,n),使得=m+n,即=(ma,mb,nc),

即解得

则点P的坐标为

所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.