新教材2023_2024学年高中数学第三章空间向量与立体几何4向量在立体几何中的应用4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系分层作业北师大版选择性必修第一册

第三章4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系

A级 必备知识基础练

1.[2023浙江高二期中]已知平面α的法向量为a=(2,3,-1),平面β的法向量为b=(1,0,k),若α⊥β,则k等于(　　)

A.1 B.-1 C.2 D.-2

2.已知平面α的法向量为n=(2,-2,4),=(-1,1,-2),则直线AB与平面α的位置关系为(　　)

A.AB⊥α 

B.AB⊂α 

C.AB与α相交但不垂直 

D.AB∥α

3.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点,E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有(　　)

A.B1E=EB B.B1E=2EB

C.B1E=EB D.E与B重合

4.设u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量.若α⊥β,则t等于(　　)

A.3 B.4 

C.5 D.6

5.(多选题)[2023江苏宿迁高二期中]下列说法正确的是(　　)

A.若n是平面α的法向量,且向量a是平面α内的直线l的方向向量,则a·n=0

B.若n1,n2分别是不重合的两平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1·n2=0

C.若n1,n2分别是不重合的两平面α,β的法向量,则α∥β⇔|n1·n2|=|n1||n2|

D.若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直

6.已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD,.则VA与平面PMN的位置关系是　　　　　. 

7.[2023陕西武功普集高级中学高二期末]设u=(-2,2,t),v=(6,-4,5)分别是平面α,β的法向量,若α⊥β,则实数t的值是　　　　　. 

8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.

(1)求证:EF⊥CD;

(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB.

9. 如图,在多面体ABCDEF中,四边形ADEF是梯形,四边形ABCD为矩形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,AF=AD=DE=1,AB=.

(1)求证:BF∥平面CDE;

(2)点G为线段CD的中点,求证:AG⊥平面DBE.

B级 关键能力提升练

10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是(　　)

A.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,3,1),则l1∥l2

B.直线l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量是u=(6,4,-1),则l⊥α

C.两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥β

D.直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,-5,0),则l∥α

11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E是棱BC的中点,则在棱CC1上存在点F,下面情况可能成立的是(　　)

A.AF∥D1E B.AF⊥D1E

C.AF∥平面C1D1E D.AF⊥平面C1D1E

12.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为(　　)

A.平行 B.垂直 

C.相交但不垂直 D.位置关系不确定

13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则(　　)

A.EF至多与A1D,AC之一垂直

B.EF⊥A1D,EF⊥AC

C.EF与BD1相交

D.EF与BD1异面

14.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=,点P为线段A1C上的动点,则下列结论正确的是(　　)

A.当=2时,B1,P,D三点共线

B.当时,

C.当=3时,D1P∥平面BDC1

D.当=5时,A1C⊥平面D1AP

15.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若E,F分别为PB,AD的中点,则直线EF与平面PBC的位置关系是　　　　　. 

16.如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于　　　　　. 

17.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=AD.

(1)求证:CD⊥平面PAC.

(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,求出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.

C级 学科素养创新练

18.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是(　　)

A.当Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD

B.当Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD

C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD

D.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD

参考答案

4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系

1.C　由题知,a·b=2+0-k=0,解得k=2.故选C.

2.A　=(-1,1,-2),n=(2,-2,4),

∴n=-2,∴n,∴AB⊥α.

3.A　4.C

5.ACD　对于A选项,由线面垂直的定义,若一条直线和一个平面内所有的直线都垂直,则直线和平面垂直,所以a⊥n,所以a·n=0,A正确;对于B选项,两平面平行,则它们的法向量平行,所以B错误;对于C选项,两平面平行,则它们的法向量平行,所以<n1,n2>=0或π,所以|n1·n2|=|n1||n2|,C正确;对于D选项,两平面垂直⇔它们的法向量垂直,所以两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直,D正确.故选ACD.S

6.平行

7.4　因为u=(-2,2,t),v=(6,-4,5)分别是平面α,β的法向量,且α⊥β,所以u⊥v,所以-2×6+2×(-4)+t×5=0,解得t=4.

8.(1)证明 如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ea,,0,P(0,0,a),F,=-,0,,=(0,a,0)=0,,即EF⊥CD.

(2)解 设G(x,0,z),则=x-,-,z-,若使GF⊥平面PCB,则需=0且=0.

由=x-,-,z-·(a,0,0)=ax-=0,解得x=;

由=x-,-,z-·(0,-a,a)=+az-=0,解得z=0.

∴G点坐标为,0,0,即G为线段AD的中点.

9.证明 (1)如图,以D为原点,DA,DC,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0),E(0,0,2),B(1,,0),F(1,0,1),=(0,-,1),∵DE⊥平面ABCD,

∴DE⊥AD,且AD⊥DC,

又DE∩DC=D,∴AD⊥平面EDC,=(1,0,0)为平面EDC的法向量.

=0,

又BF⊄平面CDE,∴BF∥平面CDE.

(2)根据题意可知G0,,0,=-1,,0,=(0,0,2),=(1,,0),

=0,=0,∴DE⊥AG,DB⊥AG.

又BD∩DE=D,∴AG⊥平面DBE.

10.C　对于A,a与b不平行,选项A错误;对于B,直线l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量是u=(6,4,-1)且a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0,所以l∥α或l⊂α,选项B错误;对于C,两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),且u·v=2×(-3)+2×4-1×2=0,所以α⊥β,选项C正确;对于D,直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,-5,0)且u=-a,所以l⊥α,选项D错误.

11.B　以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(1,0,0),D1(0,0,1),E,1,0,设F(0,1,z)(0≤z≤1),则=,1,-1,=(-1,1,z),

不可能平行,即AF,D1E不可能平行,

又因为=-+1-z=0,解得z=,因此可以垂直,即AF与D1E可能垂直.

C1(0,1,1),=(0,1,0),

设平面C1D1E的一个法向量为n=(x,y,z),

则取x=2,则n=(2,0,1),

与n不可能平行,因此AF与平面C1D1E不可能垂直,

n=-2+z∈[-2,-1],因此与n不可能垂直,因此AF与平面C1D1E不可能平行,故选B.

12.B　由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA.以D为原点,DA,DP,DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图,

设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0),

所以=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0),

所以=0,=0,即,

又因为DQ∩DC=D,

所以PQ⊥平面DCQ,故平面PQC⊥平面DCQ.

13.B

14.ACD　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

因为AB=AD=AA1=,所以AD=AA1=1,则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,,0),D1(0,0,1),B(1,,0),C1(0,,1),B1(1,,1),则=(-1,,-1),=(1,0,-1).

对于A选项,当=2时,P为线段A1C的中点,则P,=,=(1,,1),则=2,所以B1,D,P三点共线,A选项正确;

对于B选项,设==λ(-1,,-1)=(-λ,,-λ)(0≤λ≤1),=(-λ,,1-λ),由,可得=5λ-1=0,解得λ=,所以=-,=(1,0,-1)+-=,-,所以=-=-0,所以不垂直,B选项错误;

对于C选项,当=3时,=-,-,=(0,,1),=(1,,0).设平面BDC1的一个法向量为n=(x,y,z),则令y=1,则x=z=-,所以n=(-,1,-),

又因为=(-1,0,0),所以=,-,所以n=(-)+1-(-)=0,所以n,

因为D1P⊄平面BDC1,所以D1P∥平面BDC1,C选项正确;

对于D选项,当=5时,=-,-,所以=,-,

所以=-1-1×-=0,=-1×1+0+(-1)2=0.

所以A1C⊥D1P,A1C⊥D1A,又因为D1P∩D1A=D1,所以A1C⊥平面D1AP,D选项正确.故选ACD.

15.垂直　以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),E,F,0,0,

=0,-,-,=(1,1,-1),=(0,-1,1),设平面PBC的一个法向量n=(x,y,z),则n=0,n=0,即取y=1,则z=1,x=0,∴n=(0,1,1)=-n,n,∴EF⊥平面PBC.

16.2　

17.解 因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.

又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD,∠BAD=90°,所以AB,AD,AP两两垂直.

以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).

(1)证明:=(0,0,1),=(1,1,0),=(-1,1,0),

可得=0,=0,所以AP⊥CD,AC⊥CD.

又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.

(2)存在点E,且E为PA中点.设侧棱PA的中点是E,则E0,0,,=-1,0,.设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则因为=(-1,1,0),=(0,2,-1),所以取x=1,则y=1,z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).又因为n=(1,1,2)·-1,0,=0,所以n

因为BE⊄平面PCD,所以BE∥平面PCD.

综上所述,当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.

18.D　以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D,P(0,2,0),

则=(1,0,1),=(-1,2,0),设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则取z=-2,则x=2,y=1,

所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).

假设DQ⊥平面A1BD,

且==λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),

则

因为也是平面A1BD的一个法向量,

所以n=(2,1,-2)与共线,

则成立,

所以但此关于λ的方程组无解.

故不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD.故选D.