高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系课后练习题

第三章4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系

第1课时　空间中的角

A级 必备知识基础练

1.若两异面直线l1与l2的一个方向向量分别是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),则直线l1与l2的夹角为(　　)

A.30° B.60° C.120° D.150°

2.[2023福建厦门外国语学校高二期末]将正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　)

A. B. C.- D.-

3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为(　　)

A.30° B.45°

C.60° D.90°

4.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

5.(多选题)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AE=BC=2,AB=AD=1,CF=,则(　　)

A.BD⊥EC

B.BF∥平面ADE

C.二面角E-BD-F的平面角的余弦值为

D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为

6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为　　　　　. 

7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的平面角的余弦值为　　　　　. 

8.[2023江苏宝应高二期中]

如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.

(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;

(2)求二面角A-BE-C的平面角的正弦值.

B级 关键能力提升练

9.如图,在三棱锥C-OAB中,OA⊥OB,OC⊥平面OAB,OA=6,OB=OC=8,CE=CB,D,F分别为AB,BC的中点,则异面直线DF与OE所成角的余弦值为(　　)

A. B. 

C. D.

10.[2023湖北高二阶段练习]在空间直角坐标系O-xyz中,经过点P(x0,y0,z0),且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为n=(μ,v,ω)(μvω≠0)的直线l的方程为,根据上面的材料解决下面的问题:现给出平面α的方程为x-y+z-7=0,经过点(0,0,0)的直线l的方程为,则直线l与平面α所成角为(　　)

A.60° B.120° C.30° D.150°

11.(多选题)[2023湖北石首第一中学高二阶段练习]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,则(　　)

A.点C1到平面A1B1C的距离为1

B.点C1到平面A1B1C的距离为

C.直线A1C1与平面A1B1C所成角的正弦值为

D.直线A1C1与平面A1B1C所成角的正弦值为

12.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,点P在A1B1上,且满足=λ,当直线PN与平面ABC所成的角取得最大值时,λ的值为(　　)

A. B. C. D.

13.[2023重庆长寿高二期末]

《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,四面体PABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=1,则二面角A-PC-B的平面角的余弦值为　　　　. 

14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=AA1,且C1D与底面A1B1C1D1所成角为60°,则直线C1D与平面CB1D1所成角的正弦值为　　　　　. 

15.[2023河南信阳高二期末]如图1,在等边三角形ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的动点且满足DE∥BC,记=λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB,连接MB,MC得到图2,点N为MC的中点.

图1

图2

(1)当EN∥平面MBD时,求λ的值;

(2)试探究:随着λ值的变化,二面角B-MD-E的平面角的大小是否改变?如果改变,请说明理由;如果不改变,请求出二面角B-MD-E的平面角的正弦值大小.

C级 学科素养创新练

16.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=,BC=2,PA=2.

(1)取PC的中点N,求证:DN∥平面PAB.

(2)求直线AC与PD所成角的余弦值.

(3)在线段PD上,是否存在一点M,使得平面MAC与平面ACD所成锐二面角的平面角为45°?如果存在,求出BM与平面MAC所成角的大小;如果不存在,请说明理由.

参考答案

4.3　用向量方法研究立体

几何中的度量关系

第1课时　空间中的角

1.B　由题意,两异面直线l1与l2的一个方向向量分别是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),

可得|n1|=,|n2|=,n1·n2=-1,

设异面直线l1与l2所成的角为θ,则cosθ=|cos<n1,n2>|=,又因为0°<θ≤90°,所以θ=60°,即直线l1与l2的夹角为60°.故选B.

2.A　取BD中点为O,连接AO,CO,所以AO⊥BD,CO⊥BD,又因为平面ABD⊥平面CBD且交线为BD,AO⊂平面ABD,所以AO⊥平面CBD,OC⊂平面CBD,则AO⊥CO,设正方形的对角线长度为2,

如图所示,建立空间直角坐标系,A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),

所以=(1,0,-1),=(-1,-1,0),cos<>==-

所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为

故选A.

3.A　4.B

5.BC　以点A为坐标原点,AB,AD,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),

则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2),F1,2,,所以=(-1,1,0),=(1,2,-2),因为=1≠0,则BD与EC不垂直,故选项A错误;因为=(1,0,0)为平面ADE的法向量,又因为=0,2,,则=0,因为直线BF⊄平面ADE,所以BF∥平面ADE,故选项B正确;由题意,=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(-1,-2,2),设平面BDF的一个法向量为m=(a,b,c),则令b=1,则a=1,c=-,故m=1,1,-,设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z),则令z=1,则x=y=2,故n=(2,2,1),故cos<m,n>=,二面角E-BD-F的平面角为锐角,因此其余弦值为,故选项C正确;设直线CE与平面BDE所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|=,故选项D错误.故选BC.

6　如图,以D1为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

由已知得A1(4,0,0),B(4,4,3),B1(4,4,0),C(0,4,3).

=(0,4,3),=(-4,0,3),∴cos<>=

7

8.解 (1)以O为原点,OB,OC,OA分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,则有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0).所以=(2,0,0)-(0,1,0)=(2,-1,0),=(0,2,-1).所以cos<>==-故BE与AC所成角的余弦值是

 (2)=(2,0,-1),=(0,1,-1).

设平面ABE的法向量为n1=(x,y,z),

则由n1,n1,得取n1=(1,2,2).

由题意可得,平面BEC一个法向量为n2=(0,0,1),

cos<n1,n2>=,

则sin<n1,n2>=,

即二面角A-BE-C的平面角正弦值为

9.B

10.C　由题知,平面α的法向量m=(1,-1,),直线l的方向向量n=(-3,5,),

设直线l与平面α所成的角为θ,

所以sinθ=|cos<m,n>|=

所以θ=30°.故选C.

11.BD　以C1为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C1-xyz.

则A1(2,0,0),B1(0,2,0),C(0,0,3),所以=(-2,2,0),=(-2,0,3).

设平面A1B1C的法向量为n,

则

令x=3,得n=(3,3,2).

因为=(-2,0,0),所以点C1到平面A1B1C的距离d=

直线A1C1与平面A1B1C所成角的正弦值为故选BD.

12.A　如图,以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则N,P(λ,0,1),

,

易得平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),

设直线PN与平面ABC所成的角为θ,

则sinθ=|cos<,n>|=

∴当λ=时,sinθ=,此时角θ最大.故选A.

13　依据题意建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),所以=(1,1,0),=(0,0,1),=(0,1,0),=(1,0,-1).

设平面APC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则

不妨设y1=1,则x1=-1,n1=(-1,1,0),

设平面PBC的法向量为n2=(x2,y2,z2),

则不妨设x2=1,则z2=1,y2=0,n2=(1,0,1),设二面角A-PC-B的平面角为α,由图可知,α为锐角,则cosα=|cos<n1,n2>|=

14　由题意得∠DC1D1即为C1D与底面A1B1C1D1所成的角,∴∠DC1D1=60°.

∵AB=C1D1=1,∴DD1=

以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

则D(0,0,0),C1(0,1,),C(0,1,0),B1(,1,),D1(0,0,),

则=(0,1,),=(,0,),=(0,-1,),

设平面CB1D1的一个法向量为n=(x,y,z),

则

令x=1,则y=-,z=-1,即n=(1,-,-1),

设直线C1D与平面CB1D1所成的角为θ,

则sinθ=|cos<,n>|=,即直线C1D与平面CB1D1所成角的正弦值为

15.解 (1)取MB的中点为P,连接DP,PN,

因为MN=CN,MP=BP,所以NP∥BC.

又因为DE∥BC,所以NP∥DE,即N,E,D,P四点共面,

又因为EN∥平面BMD,EN⊂平面NEDP,平面NEDP∩平面MBD=DP,

所以EN∥PD,即四边形NEDP为平行四边形,

所以NP=DE,则DE=BC,即λ=

(2)取DE的中点O,连接MO,则MO⊥DE,因为平面MDE⊥平面DECB,平面MDE∩平面DECB=DE,且MO⊥DE,所以MO⊥平面DECB,建立空间直角坐标系,如图,

不妨设BC=2,则M(0,0,),D(λ,0,0),B(1,(1-λ),0),所以=(λ,0,-),=(1-λ,(1-λ),0),

设平面BMD的法向量为m=(x,y,z),

则

令x=,即m=(,-1,1).又因为平面EMD的法向量n=(0,1,0),所以cos<m,n>==-,即随着λ值的变化,二面角B-MD-E的平面角的大小不变,且sin<m,n>=,所以二面角B-MD-E的平面角的正弦值为

16.(1)证明 取BC的中点E,连接DE,交AC于点O,连接ON,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).

∵点N为PC的中点,

∴N(0,0,1),=(1,0,1).

设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),由=(0,0,2),=(2,0,0),可得n=(0,1,0),n=0.

又DN⊄平面PAB,∴DN∥平面PAB.

(2)解 由(1)知=(0,2,0),=(-1,1,-2).

设直线AC与PD所成的角为θ,

则cosθ=cos<>=

(3)解 存在.

设M(x,y,z),且=,0<λ<1,

M(-λ,λ-1,2-2λ).设平面ACM的一个法向量为m=(x1,y1,z1),由=(0,2,0),=(-λ,λ,2-2λ),

可得m=(2-2λ,0,λ),

由图知平面ACD的一个法向量为n=(0,0,1),

∴|cos<m,n>|=,

解得λ=或λ=2(舍去).

∴M,

,m=

设直线BM与平面MAC所成的角为φ,

则sinφ=|cos<,m>|=,

∴φ=30°.故存在点M,使得平面MAC与平面ACD所成锐二面角的平面角为45°,此时BM与平面MAC所成的角为30°.