北师大版 (2019)选择性必修 第一册5 数学探究活动(一)：正方体截面探究精练

第三章§5　数学探究活动(一):正方体截面探究

A级 必备知识基础练

1.ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F,G分别为AA1,D1C1,BC的中点,过E,F,G的平面截正方体的截面面积为(　　)

A. B. 

C.3 D.3

2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的一个截面经过顶点A,C及棱A1D1上一点K,且将正方体分成体积之比为13∶41的两部分,则的值为(　　)

A.1 B. C. D.

3.如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AB,B1C1的中点,过C,M,N三点作正方体的截面,则以B点为顶点,以该截面为底面的棱锥的体积为(　　)

A.8 B.7 

C.16 D.14

4.(多选题)如图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为A1D1的中点,F为CC1上的一个动点,设由点A,E,F构成的平面为α,则下列说法正确的是(　　)

A.平面α截正方体的截面可能是三角形

B.当点F与点C1重合时,平面α截正方体的截面面积为2

C.点D到平面α的距离的最大值为

D.当F为CC1的中点时,平面α截正方体的截面为五边形

B级 关键能力提升练

5.已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各面都相切,则平面ACB1截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为(　　)

A.π B.π

C.π D.π

6.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,N为CC1的中点,M为线段BC上的动点(不含端点),若过点A,M,N的平面截该正方体所得截面为四边形,则线段BM长度的取值范围是(　　)

A.(0,1] 

B.[1,2)

C. 

D.

C级 学科素养创新练

7.如图所示,在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,过A,E,F三点作该正方体的截面,则截面的周长为(　　)

A.18+3 B.6+3

C.6+9 D.10+3+4

参考答案

§5　数学探究活动(一):正方体截面探究

1.C　取A1D1,C1C,AB的中点M,N,K,连接EM,MF,FN,NG,GK,EK.根据正方体的性质,得六边形EMFNGK为边长为的正六边形,所以面积为6×sin60°=3故选C.

2.C　过点K作KE∥AC,交C1D1于点E,连接CE,

设正方体棱长为a,设(λ>0),则D1K=D1E=

∵截面将正方体分成体积之比为13∶41的两部分,

aa2+=a3,

解得λ=2(负值舍去),故选C.

3.A　如图,过C,M,N三点的截面为梯形MCNE,则几何体MBC-EB1N为棱台,

S△MBC=2×4=4,1×2=1,

∴V四棱锥B-MCNE=4×(1+4+)-1×4=8.

4.BCD　以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,延长AE与z轴交于点P,连接PF与y轴交于点M,则平面α由平面AEF扩展为平面APM,由此可知选项A错误,选项D正确;对于选项B,当点F与点C1重合时,截面是一个棱长为的菱形,该菱形的两条对角线长度分别为AC1==2=2,则此时截面的面积为22=2,故选项B正确;因为D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,4),设点M的坐标为(0,t,0),t∈[2,4],则=(2,0,0),=(-2,t,0),=(2,0,-4),点P到直线AM的距离为d2=,所以△APM的面积S△APM=d2=,又因为S△PAD=2×4=4,设点D到平面α的距离为h,则VD-APM=VM-PAD,即S△APM·h=S△PAD·t,解得h=,所以当t=4时,h取得最大值为,故选项C正确.故选BCD.

5.C　由题意,球心O与点B的距离为2,B到平面ACB1的距离为2,球的半径为1,球心到平面ACB1的距离为,∴平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为,∴平面ACB1截此球所得的截面的面积为π×2=,∴平面ACB1截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积V=故选C.

6.A　当点M为线段BC的中点时,截面为四边形AMND1,又正方体的棱长为2,

∴当0<BM≤1时,截面为四边形,当BM>1时,截面与正方体的上底面也相交,截面为五边形,故线段BM的取值范围为(0,1].故选A.

7.B　如图所示,

延长EF,A1B1相交于点M,连接AM交BB1于点H,延长FE,A1D1相交于点N,连接AN交DD1于点G,可得截面五边形AHFEG.

∵几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,且E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,

∴EF=3,AG=AH==2,EG=FH=

∴截面的周长为6+3故选B.