高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第五章 计数原理1 基本计数原理1.2 分步乘法计数原理课时训练

第五章§1　基本计数原理

1.1　分类加法计数原理　1.2　分步乘法计数原理

A级 必备知识基础练

1.[2023福建龙岩连城第一中学校考阶段练习]某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有(　　)

A.7种 B.12种 C.4种 D.3种

2.已知x∈{2,3,7},y∈{-3,-4,8},则xy可表示不同的值的个数为(　　)

A.8 B.12 C.10 D.9

3.[2023福建师大附中高二期中]四名师范生从A,B,C三所学校中任选一所进行教学实习,其中A学校必有师范生去,则不同的选法方案有(　　)

A.37种 B.65种 C.96种 D.108种

4.(多选题)[2023湖南长沙高二学校期末]现有不同的红球4个,黄球5个,绿球6个,则下列说法正确的是(　　)

A.从中选出2个球,正好一红一黄,有9种不同的选法

B.若每种颜色选出1个球,有120种不同的选法

C.若要选出不同颜色的2个球,有31种不同的选法

D.若要不放回地依次选出2个球,有210种不同的选法

5.如图,一条电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为(　　)

A.8 B.6 C.5 D.3

6.张华去书店,发现3本好书,决定至少买其中1本,则购买方法共有　　　　　种. 

7.[2023辽宁沈阳校考阶段练习]为了丰富学生的课余生活,某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程,甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加,则这3名同学所选活动课程不全相同的选法有　　　　　种. 

8.已知集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m,在B中任取一元素n,组成数对(m,n),问:

(1)有多少个不同的数对?

(2)其中m>n的数对有多少个?

B级 关键能力提升练

9.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 130是“六合数”),则其中首位为2的“六合数”共有(　　)

A.18个 B.15个 C.12个 D.9个

10.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有(　　)

A.30种 B.50种 C.60种 D.90种

11.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,如图所示.现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,则不同的栽种方法有(　　)

A.80种 B.120种 C.160种 D.240种

12.某单位有4位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,1,2,5,为遵守所在城市1月15日至18日4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),四人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天,则不同的用车方案种数是(　　)

A.4 B.12 

C.16 D.24

13.(多选题)已知a∈{2,3,4},b∈{4,6,7},则方程=1可表示不同的椭圆的个数用式子表示为(　　)

A.3+3+3 B.3+3+2

C.3×3-1 D.3×3

14.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99,3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.则

(1)5位回文数有　　　　　个; 

(2)2n(n∈N+)位回文数有　　　　　个. 

15.如图所示的电路,若合上两只开关以接通从A到B的电路,则有　　　　　种不同的接通电路的方法. 

16.已知集合P={1,2,3,4,5},若A,B是P的两个非空子集,则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对{A,B}的个数为多少?

C级 学科素养创新练

17.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的宣传广告、1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且宣传广告与公益广告不能连续播放,两个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?(用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序)

参考答案

第五章　计数原理

§1　基本计数原理

1.1　分类加法计数原理

1.2　分步乘法计数原理

1.A　由题知某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,共7门,故该同学的不同选法共有7种.故选A.

2.D

3.B　若不考虑限制条件,每人都有3种选择,则共有34=81(种)方法,若没有人去A学校,每人都有2种选择,则共有24=16(种)方法,故不同的选法方案有81-16=65(种).故选B.

4.BD　对选项A,从中选出2个球,正好一红一黄,有4×5=20(种)不同的选法,所以该选项错误;对选项B,若每种颜色选出1个球,有4×5×6=120(种)不同的选法,所以该选项正确;对选项C,若要选出不同颜色的2个球,有4×5+5×6+4×6=74(种)不同的选法,所以该选项错误;对选项D,若要不放回地依次选出2个球,有15×14=210(种)不同的选法,所以该选项正确.故选BD.

5.B　6.7

7.210　甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加各有6种选法,共有63=216(种)选法,其中甲、乙、丙3名同学所选活动课程完全相同的选法共6种,则这3名同学所选活动课程不全相同的选法有216-6=210(种).

8.解 (1)从集合A中先选出m有5种方法,从集合B中再选出n有5种方法,根据分步乘法计数原理知共有5×5=25(个)不同的数对.

(2)在(1)中的25个数对中,m>n的数对可以分类来解,当m=2时,n=1,有1种结果;当m=4时,n=1,3,有2种结果;当m=6时,n=1,3,5,有3种结果;当m=8时,n=1,3,5,7,有4种结果;当m=10时,n=1,3,5,7,9,有5种结果.

综上所述,共有1+2+3+4+5=15(个)满足条件的数对.

9.B　由题意可知后三位数字之和为4,

当一个位置为4时有004,040,400,共3个;

当两个位置和为4时有013,031,103,301,130,310,022,202,220,共9个;

当三个位置和为4时有112,121,211,共3个,

所以一共有15个.故选B.

10.B　①甲同学选择牛,乙有2种选择方法,丙有10种选择方法,三位同学都满意的选择方法有1×2×10=20(种);

②甲同学选择马,乙有3种选择方法,丙有10种选择方法,三位同学都满意的选择方法有1×3×10=30(种),

所以总共有20+30=50(种)选择方法.故选B.

11.B　第一步,对1号区域,栽种有4种选择;第二步,对2号区域,栽种有3种选择;第三步,对3号区域,栽种有2种选择;第四步,对5号区域,栽种分为三种情况,

①5号与2号栽种相同,则4号栽种仅有1种选择,6号栽种有2种选择,②5号与3号栽种相同,情况同上,③5号与2,3号栽种都不同,则4,6号只有1种.

综上所述,不同的栽种方法有4×3×2×(1×2×2+1×1)=120(种).

故选B.

12.B　15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数.

第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有22=4(种).

第二步安排偶数日出行,分两类:

第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种;

第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计1+2=3(种).

根据分步乘法计数原理,不同的用车方案种数共有4×3=12.

13.BC　

14.(1)900　(2)9×10n-1　(1)5位回文数相当于填5个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法,第2位和第4位一样,有10种填法,中间一位有10种填法,共有9×10×10=900(种)填法,即5位回文数有900个.

(2)根据回文数的定义,结合分步乘法计数原理,知有9×10n-1个回文数.

15.13　由A到B的通电线路接通方法可分为三类:第一类,上路接通,有2×1=2(种)方法;第二类,中路接通,有1×7=7(种)方法;第三类,下路接通,有2×2=4(种)方法.根据分类加法计数原理,共有2+7+4=13(种)不同的方法.

16.解 根据题意,分4种情况讨论:

当A中的最大数为1,即A={1}时,B={2},{3},{4},{5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},{2,3,4,5},即{2,3,4,5}的非空子集的个数为24-1=15(个);

当A中的最大数为2,即A={2},{1,2}时,B={3},{4},{5},{3,4},{3,5},{4,5},{3,4,5},即2×(23-1)=14(个);

当A中的最大数为3,即A={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}时,B={4},{5},{4,5},即4×3=12(个);

当A中的最大数为4,即A={4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}时,B={5},即{1,2,3}的子集的个数为23=8(个).

所以总个数为15+14+12+8=49(个).

17.解 完成这件事有三类方法.

第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式;

第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式;

第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6,同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式.

由分类加法计数原理知,6个广告不同的播放方式有36+36+36=108(种).