高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 基本计数原理的简单应用复习练习题

第五章1.3　基本计数原理的简单应用

A级 必备知识基础练

1.[2023云南楚雄第一中学校考阶段练习]甲、乙、丙三名同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、百米比赛,每人限报一项,不同的报名方法数为(　　)

A.12 B.24 C.64 D.81

2.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a,b)的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是(　　)

A.100 B.90 C.81 D.72

3.(多选题)[2023广东湛江高二校考阶段练习]已知数字0,1,2,3,4,由它们组成四位数,下列说法正确的有(　　)

A.组成可以有重复数字的四位数有500个

B.组成无重复数字的四位数有96个

C.组成无重复数字的四位偶数有66个

D.组成无重复数字的四位奇数有28个

4.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这个人把这种特殊要求的号买全(每组号买一注),需要(　　)

A.3 360元 B.6 720元

C.4 320元 D.8 640元

5.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有　　　　　种. 

6.[2023上海嘉定高二校考期中]已知a,b∈{0,1,2,…,9},若满足|a-b|≤1,则称a,b“心有灵犀”,则a,b“心有灵犀”的种数共有　　　　　　. 

7.若把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有多少对?

8.用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.若允许同一种颜色多次使用,则该板报有多少种书写方案?

B级 关键能力提升练

9.有四位教师在同一年级的四个班各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法种数是(　　)

A.8 B.9

C.10 D.11

10.两人进行乒乓球比赛,采取五局三胜制,即先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　)

A.10种 

B.15种

C.20种 

D.30种

11.(多选题)某食堂窗口供应两荤三素共5种菜,甲、乙两人每人在该窗口打2种菜,且每人至多打1种荤菜,则下列说法中正确的是(　　)

A.甲若选一种荤菜,则有6种选法

B.乙的选菜方法数为9

C.若两人分别打菜,总的方法数为18

D.若两人打的菜均为一荤一素且只有一种相同,则方法数为30

12.(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2+c3)完全展开后的项数为(　　)

A.9 B.12

C.18 D.24

13.[2023辽宁葫芦岛高二校联考期中]如图,提供4种不同的颜色给图中A,B,C,D四块区域涂色,若相邻的区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有　　　　　种. 

14.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配,共可配成　　　　　组. 

15.整数630不同的正因数(包括1和630)共有　　　　　个. 

16.相邻的4个车位中停放了4辆不同的车,现将所有车开出后再重新停入这4个车位中.

(1)若要求有3辆车不得停在原来的车位中,有多少种不同的停法?

(2)若要求所有车都不得停在原来的车位中,有多少种不同的停法?

C级 学科素养创新练

17.已知A∪B={a1,a2,a3},且A≠B,当A≠B时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对有　　　　　个. 

18.一个非负整数的有序数对(x,y),如果在做x与 y的加法时不用进位,则称(x,y)为“中国梦数对”,x+y称为“中国梦数对”(x,y)的和,则和为2 018的“中国梦数对”的个数为　　　　　. 

参考答案

1.3　基本计数原理的简单应用

1.C　甲、乙、丙三名同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、百米比赛,每人限报一项,每人有4种报名方法,根据分步乘法计数原理,可知共有4×4×4=64(种)不同的报名方法.故选C.

2.C

3.AB　对选项A,四位数的首位不能为0,有4种情况,其他数位有5种情况,则组成可以有重复数字的四位数有4×5×5×5=500(个),故选项A正确;

对选项B,四位数的首位不能为0,有4种情况,在剩下的4个数字中任选3个,排在后面3个数位,有4×3×2=24(种)情况,则组成无重复数字的四位数有4×24=96(个),故选项B正确;

对选项C,若0在个位,有4×3×2=24(个)四位偶数,若0不在个位,有3×3×2×2=36(个)四位偶数,则组成无重复数字的四位偶数共有24+36=60(个)四位偶数,故选项C错误;

对选项D,组成无重复数字的四位奇数有3×3×2×2=36(个),故选项D错误.

故选AB.

4.D　5.96　

6.28　当a为0时,b只能取0,1两个数;

当a为9时,b只能取8,9两个数;

当a为其他数时,b都可以取三个数,例如当a=1时,b可取0,1,2.

综上,一共有2+2+3×8=28(种).

7.解 底面上的六条棱所在的直线共面,则每两条之间不能构成异面直线.

六条侧棱所在的直线共点,每两条之间也不能构成异面直线.

结合图形可知,底面上的六条棱所在的直线中的每一条与和它不相交的四条侧棱所在的四条直线中的每一条能构成异面直线.

再由分步乘法计数原理知,可构成异面直线6×4=24(对).

8.解 第一步,选英语角用的彩色粉笔,有6种不同的选法;

第二步,选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角相同,有5种不同的选法;

第三步,选理综世界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不相同,有4种不同的选法;

第四步,选数学天地用的彩色粉笔,只要与理综世界不同即可,有5种不同的选法.

由分步乘法计数原理知,共有6×5×4×5=600(种)不同的书写方案.

9.B　设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d.若A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法.同理,若A监考c,d时,也分别有3种不同方法.由分类加法计数原理,得监考方法共有3+3+3=9(种).

10.C　由题意知,比赛局数最少为3局,至多为5局.当比赛局数为3局时,情形为甲或乙连赢3局,共2种;当比赛局数为4局时,若甲赢,则前3局中甲赢2局,最后一局甲赢,共有3种情形;同理,若乙赢,则也有3种情形,所以共有6种情形;当比赛局数为5局时,前4局,甲、乙双方各赢2局,最后一局胜出的人赢,若甲前4局赢2局,共有赢取第1,2局,1,3局,1,4局,2,3局,2,4局,3,4局六种情形,所以比赛局数为5局时共有2×6=12(种),综上可知,共有2+6+12=20(种).故选C.

11.AB　若甲打一荤一素,则有2×3=6(种)选法,故A正确;若乙打一荤一素,则有6种选法,若打两素,则有3种选法,共9种选法,故B正确;选项C应为9×9=81(种)方法,选项D应为2×3×2+3×2×1=18(种).

12.B

13.48　先对B区域涂色,共有4种不同的涂法,再对D区域涂色,共有3种不同的涂法,再对A区域涂色,共有2种不同的涂法,最后对C区域涂色,共有2种不同的涂法,

根据分步乘法计数原理,则不同的涂法共有4×3×2×2=48(种).

14.60　

15.24　整数630=2×32×5×7;

然后注意到每一因数可出现的次幂数,2可有20,21两种情况,

3有30,31,32三种情况,

5有50,51两种情况,7有70,71两种情况,

按分步乘法计数原理,整数630的正因数(包括1和630)共有2×3×2×2=24(个).

16.解 (1)可分成两步完成,第一步,先选出停在原来车位的那辆车,有4种情况,

第二步,停放剩下的3辆车,将剩余3辆车分别编号为A,B,C,将剩余3个停车位分别编号为一、二、三,设A车先选停车位,此时有2种停法,剩余两辆车有且只有1种停法,所以有2种停法,根据分步乘法计数原理,共有4×2=8(种)停法.

(2)将4辆车分别编号为A,B,C,D,将4个停车位分别编号为一、二、三、四.不妨设A车先选停车位,此时有3种停法,若A车选了二号停车位,那么B车再选,有3种停法,剩下的C车和D车都只有1种停法,故共有3×3=9(种)停法.

17.26　

18.54　设x=1000a1+100b1+10c1+d1,y=1000a2+100b2+10c2+d2,则x+y=1000(a1+a2)+100(b1+b2)+10(c1+c2)+(d1+d2),

根据题意得其中ai,bi,ci,di(i=1,2)均为自然数,满足条件a1+a2=2的自然数对(a1,a2)有(0,2),(1,1),(2,0),共3对;满足条件b1+b2=0的自然数对(b1,b2)有(0,0),共1对;满足条件c1+c2=1的自然数对(c1,c2)有(0,1),(1,0),共2对;满足条件d1+d2=8的自然数对(d1,d2)有(0,8),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1),(8,0),共9对,由分步乘法计数原理可知,和为2018的“中国梦数对”的个数为3×1×2×9=54.