高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 离散型随机变量的方差达标测试

第六章3.2　离散型随机变量的方差

A级 必备知识基础练

1.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本方差分别为DX甲=11,DX乙=3.4.由此可以估计(　　)

A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐

B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同

D.甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较

2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=3,6,9,则DX等于(　　)

A.6 B.9 C.3 D.4

3.随机变量X的分布列如下:

若EX=,则DX的值是(　　)

A. B. C. D.

4.设0<m<1,随机变量的分布列为

则当m在(0,1)上增大时,(　　)

A.Dξ单调递增,最大值为

B.Dξ先增后减,最大值为

C.Dξ单调递减,最小值为

D.Dξ先减后增,最小值为

5.设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若EY=4+b,DY=32,则EX=　　　　　,DX=　　　　　. 

6.已知随机变量X的分布列为

若EX=.

(1)求DX的值;

(2)若Y=3X-2,求DY的值.

7.不透明袋中装有质地、大小相同的4个红球,m个白球,若从中不放回地取出2个球,在第一个取出的球是红球的前提下,第二个取出的球是白球的概率为.

(1)求白球的个数m;

(2)若有放回的取出两个球,记取出的红球个数为X,求EX,DX.

8.甲、乙两人轮流射击,每人每次射击一次,先射中者获胜,射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为,乙每次射击命中的概率为,且每次射击互不影响,约定由甲先射击.

(1)求甲获胜的概率;

(2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列和数学期望及方差.

B级 关键能力提升练

9.[2023河南洛阳校联考模拟预测]随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=,k=1,2,3,其中c是常数,则D(9ξ-3)的值为(　　)

A.10 B.117 C.38 D.35

10.已知随机变量ξ的分布列如表:

其中=6,则Dξ的最大值是(　　)

A. B. C. D.

11.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为

若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有(　　)

A.q=0.1 

B.EX=2,DX=1.4

C.EX=2,DX=1.8 

D.EY=5,DY=7.2

12.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,EX,DX分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是(　　)

A.P(X=1)=EX B.E(3X+2)=4

C.D(3X+2)=4 D.DX=

13.[2023浙江宁波镇海中学模拟预测]随机变量X的取值为-1,0,1,若P(X=-1)=,EX=,则P(X=0)=　　　　　,D(2X+1)=　　　　　. 

14.变量ξ的分布列如下:

其中2b=a+c,若Eξ=,则Dξ的值是　　　　. 

15.[2023重庆万州高二校考期中]甲、乙两名同学与一台智能机器人进行象棋比赛,记分规则如下:在一轮比赛中,如果甲赢而乙输,甲得1分;如果甲输而乙赢,甲得-1分;如果甲和乙同时赢或同时输,甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6,乙赢机器人的概率为0.5.求:

(1)在一轮比赛中,甲的得分X的分布列;

(2)在两轮比赛中,甲的得分Y的分布列;

(3)Y的均值和方差.

C级 学科素养创新练

16.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:

(1)工期延误天数Y的均值与方差;

(2)在降水量至少是300 mm的条件下,工期延误不超过6天的概率.

参考答案

3.2　离散型随机变量的方差

1.B　2.A　3.D

4.D　由题知=1,解得a=1,所以Eξ=0+,所以Dξ=2+m-2+1-2(m2-m+1)=m-2+,由二次函数性质可知,Dξ在0,上单调递减,在,1上单调递增,所以当m=时,D(ξ)有最小值故选D.

5.2　8　随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若EY=4+b,DY=32,则EY=2EX+b=4+b,所以EX=2;又因为DY=4DX=32,所以DX=8.

6.解 由+p=1,得p=,

又因为EX=0+1x=,所以x=2.

(1)DX=0-2+1-2+2-2

(2)因为Y=3X-2,所以DY=D(3X-2)=9DX=5.

7.解 (1)由题意知,袋中装有质地、大小相同的4个红球,m个白球,因为第一个取出的球是红球,第二个取出的球是白球的概率为,可得,解得m=5.

(2)由题意,随机变量X可能为0,1,2,

则P(X=0)=,

P(X=1)=2=,

P(X=2)=,

所以随机变量X的分布列为

则数学期望EX=0+1+2,

方差DX=0-2+1-2+2-2

8.解 (1)记甲第i次射中获胜为Ai(i=1,2,3),则A1,A2,A3彼此互斥,甲获胜的事件为A1+A2+A3,

因为P(A1)=,P(A2)=,

P(A3)=2×2,

所以P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=,即甲获胜的概率为

(2)X所有可能的取值为1,2,3,则

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=2×2×1=

所以X的分布列为

所以X的数学期望EX=1+2+3,

X的方差DX=1-2+2-2+3-2

9.C　∵P(ξ=k)=,k=1,2,3,=1,解得c=,∴Eξ=1+2+3,∴Dξ=1-2+2-2+3-2,∴D(9ξ-3)=92Dξ=81Dξ=38.故选C.

10.C　Eξ=(-1)·p1+0·p2+1·p3=p3-p1,

又因为Eξ2=p1+p3,所以Dξ=Eξ2-(Eξ)2=p1+p3-(p3-p1)2=(p1+p3)-(p1+p3)2+4p1p3,

因为=6,所以p1p3=,

所以Dξ=(p1+p3)-(p1+p3)2=-(p1+p3)-2+,

因为0<p1+p3<1,所以当p1+p3=时,Dξ的最大值是故选C.

11.ACD

12.AB　随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,所以P(X=1)=,EX=0+1,DX=0-2+1-2,在A中,P(X=1)=EX,故A正确;在B中,E(3X+2)=3EX+2=3+2=4,故B正确;在C中,D(3X+2)=9DX=9=2,故C错误;在D中,DX=,故D错误.

13　设P(X=0)=a,则P(X=1)=-a,因此分布列如下表所示,

所以EX=--a=,解得a=,

DX=-1-2+0-2+1-2=,

所以D(2X+1)=4DX=

14

15.解 (1)由题设,X的可能取值为-1,0,1,

P(X=-1)=0.4×0.5=0.2,

P(X=0)=0.6×0.5+(1-0.6)×(1-0.5)=0.5,

P(X=1)=0.6×(1-0.5)=0.3.

X的概率分布列为

(2)由题设,Y的可能取值为-2,-1,0,1,2,

P(Y=-2)=0.2×0.2=0.04,

P(Y=-1)=0.2×0.5+0.5×0.2=0.2,

P(Y=0)=0.2×0.3+0.3×0.2+0.5×0.5=0.37,

P(Y=1)=0.5×0.3+0.3×0.5=0.3,

P(Y=2)=0.3×0.3=0.09.

Y的概率分布列为

(3)由(2)得EY=-2×0.04+(-1)×0.2+0×0.37+1×0.3+2×0.09=0.2.

DY=(-2-0.2)2×0.04+(-1-0.2)2×0.2+(0-0.2)2×0.37+(1-0.2)2×0.3+(2-0.2)2×0.09=4.84×0.04+1.44×0.2+0.04×0.37+0.64×0.3+3.24×0.09=0.98.

16.解 (1)由已知条件有P(X<300)=0.3,

P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,

P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,

P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.

所以Y的分布列为

于是,EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,

DY=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.

故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.

(2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,

又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6,由条件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)=

故在降水量X至少是300mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是