新教材2023_2024学年高中数学第七章统计案例测评北师大版选择性必修第一册

第七章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.下面的变量之间可用直线拟合的是(　　)

A.出租车费与行驶的里程

B.房屋面积与房屋价格

C.身高与体重

D.实心铁块的大小与质量

2.下列两个变量具有相关关系的是(　　)

A.正方体的体积与棱长

B.汽车匀速行驶时的路程与时间

C.人的体重与饭量

D.人的身高与视力

3.两个变量Y与X的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,它们的相关系数r如表,其中拟合效果最好的模型是(　　)

A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4

4.用最小二乘法得到一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5)的线性回归方程为Y=2X+3,若xi=25,则yi等于(　　)

A.11 B.13 C.53 D.65

5.某词汇研究机构为对某城市人们使用流行用语的情况进行调查,随机抽取了200人进行调查统计得到下方的2×2列联表.则根据列联表可知(　　)

参考公式:独立性检验统计量χ2=,其中n=a+b+c+d.

A.有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系

B.没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系

C.有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系

D.有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系

6.某研究机构对高三学生的记忆力X和判断力Y进行统计分析,所得数据如下表:

根据上表提供的数据,用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程Y=X+的值为0.7,则记忆力为14的学生的判断力约为(　　)

A.7 B.7.5 C.8 D.8.5

7.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如表数据:

由表中数据,求得线性回归方程为Y=X+106.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线右上方的概率为(　　)

A. B. C. D. 

8.[2023河南焦作温县第一高级中学高二期末]某大学为了解喜欢看篮球赛是否与性别有关,随机调查了部分学生,在被调查的学生中,男生人数是女生人数的2倍,男生喜欢看篮球赛的人数占男生人数的,女生喜欢看篮球赛的人数占女生人数的.若被调查的男生人数为n,且有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关,则n的最小值为(　　)

A.6 B.12 

C.18 D.36

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.为了对变量x与y的线性相关性进行检验,由样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(x10,y10)求得两个变量的样本相关系数为r,那么下面说法中错误的有(　　)

A.若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则r=1

B.若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则r=-2

C.若|r|越大,则变量x与y的线性相关性越强

D.若|r|越小,则变量x与y的线性相关性越强

10.在一次恶劣气候的飞行航程中,调查男女乘客在机上晕机的情况,结果如表所示:

则下列说法正确的是(　　)

A.

B.χ2<2.706

C.有90%的把握认为,在恶劣气候飞行中,晕机与否跟性别有关

D.没有90%的把握认为,在恶劣气候飞行中,晕机与否跟性别有关

11.某位同学10次考试的物理成绩Y与数学成绩X如表所示:

参考数据:xi=800.

已知Y与X线性相关,且Y关于X的线性回归方程为Y=1.1X-5,则下列说法正确的是(　　)

A.a=86

B.Y与X正相关

C.Y与X的相关系数为负数

D.若数学成绩每提高5分,则物理成绩估计能提高5.5分

12.某校对“学生性别和喜欢锻炼是否有关”作了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢锻炼的人数占男生总人数的,女生喜欢锻炼的人数占女生总人数的.若至少有95%的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关”,则被调查学生中男生的人数可能为(　　)

附:χ2=(n=a+b+c+d).

A.35 B.40 

C.45 D.50

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表:

为了检验主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到χ2=≈4.844.

因为χ2>3.841,所以断定主修统计专业与性别有关系.这种判断的把握为　　　　　. 

14.一般说来,年收入高的家庭年支出也高,你能设计一个方案说明“年收入”与“年支出”是否存在线性相关关系吗?试写出你的设计 

　(答案不唯一). 

15.某种细胞的存活率Y(单位:%)与存放温度X(单位:℃)之间具有线性相关关系,其样本数据如下表所示:

计算得=5,=35,xiyi=-175,=875,并求得线性回归方程为Y=-2X+45,但实验人员发现当存放温度为-5时的存活率对应值60录入有误,更正为53,则更正后的线性回归方程为　　　　　　　　. 

16.某高校有10 000名学生,其中女生3 000名,男生7 000名.为调查爱好体育运动是否与性别有关,用分层抽样的方法抽取120名学生,制成独立性检验的2×2列联表如下,则a-b=　　　　.(用数字作答) 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)为了适应高考改革,某中学推行“创新课堂”教学.高一甲班采用“传统教学”的教学方式授课,高一乙班采用“创新课堂”的教学方式授课,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析,结果如表:(记成绩不低于120分者为“成绩优秀”)

(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表.

(2)判断是否有95%的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”?

18.(12分)某高中学校实施线上教学,为了解线上教学的效果,随机抽取了100名学生对线上教学效果进行评分(满分100分),记低于80分的评分为“效果一般”,不低于80分为“效果较好”.

(1)请补充完整2×2列联表;通过计算判断,是否有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关?

(2)根据(1)中列联表的数据,在评分为“效果较好”的学生中按照性别用分层抽样的方法抽取了6名学生.若从这6名学生中随机选择2名进行访谈,求所抽取的2名学生中恰好有1名男生的概率.

χ2=,n=a+b+c+d.

19.(12分)近年来,“双11”网购的观念逐渐深入人心,某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额,统计结果如下表:

请根据表中提供的数据,画出散点图,推断两个变量是否近似地呈现线性关系,若是,用样本相关系数r说明Y与X的线性相关程度(保留三位小数);若不是,请说明理由.

附:≈21.56.

20.(12分)由于某种疫情越来越严重,医用口罩等物资存在很大缺口.某口罩生产厂家复工复产后,抢时生产口罩,已知该企业前10天生产的口罩量如下表所示:

对上表的数据初步处理,得到一些统计量的值:

(1)求表中m,n的值,并根据最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程Y=X+(回归方程系数精确到0.1);

(2)某同学认为Y=X2+X+更适宜作为Y关于X的回归方程模型,并以此模型求得回归方程为Y=-X2+10X+68.经调查,该企业第11天的产量为145.3万个,与(1)中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好?并说明理由.

附:.

21.(12分)某沙漠地区经过治理,生态系统得到改善.为调查该地区植物覆盖面积(单位:公顷)和某种野生动物的数量的关系,将该地区分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积和这种野生动物的数量,并计算得xi=60,yi=1 200,(xi-)2=80,(yi-)2=9 000,(xi-)(yi-)=800.

(1)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01),并用相关系数说明各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积的相关性.

(2)根据现有统计资料得知,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.

附:相关系数r=.

22.(12分)某公司为了解年研发资金投入量X(单位:亿元)对年销售额Y(单位:亿元)的影响.对公司近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据,进行了对比分析,建立了两个模型:(a)Y=X2,(b)Y=,其中α,β,λ,t均为常数,e为自然对数的底数,并得到一些统计量的值.令ui=,vi=ln yi(i=1,2,…,12),经计算得如下数据:

(1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好?

(2)①根据分析及表中数据,建立Y关于X的回归方程;

②若下一年销售额Y需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量X是多少亿元?

附:①相关系数r=,回归直线Y=X中公式分别为;

②参考数据:308=4×77,≈9.486 8,e4.499 8≈90.

参考答案

第七章测评

1.C　出租车费与行驶的里程之间是确定的函数关系,故A错误;房屋面积与房屋价格之间是确定的函数关系,故B错误;人的身高会影响体重,但不是唯一因素,可用直线拟合,故C正确;实心铁块的大小与质量是确定的函数关系,故D错误.

2.C　正方体的体积与棱长是函数关系,故选项A错误;

汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系,故选项B错误;

饭量会影响体重,但不是唯一因素,所以人的体重与饭量是相关关系,故选项C正确;

人的身高与视力无任何关系,故选项D错误.

3.C　4.D　5.A

6.B　因为=9,=4,代入Y=0.7X+中,得=-2.3,所以线性回归方程为Y=0.7X-2.3,把X=14代入,得Y=7.5.

7.C　由表中数据知,×(4+5+6+7+8+9)=6.5,×(90+84+83+80+75+68)=80,

因为回归直线恒过点(),

所以80=×6.5+106,解得=-4,

所以Y=-4X+106.

6个点中,满足在回归直线右上方的点有(6,83),(7,80),(8,75),共3个,

所以概率为.

故选C.

8.B　由题意得到如下列联表:

所以χ2=.因为有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关,所以χ2>3.841,即>3.841,得n>≈10.24.又为整数,所以n的最小值为12.

9.ABD　当所有样本点都在直线y=-2x+1上时,样本点数据完全负相关,其相关系数r=-1,所以A,B都错误;

相关系数|r|值越大,则变量x与y的线性相关性越强,C正确;

相关系数|r|值越小,则变量x与y的线性相关性越弱,D错误.

综上知,以上错误的说法是ABD.

10.ABD

11.ABD　对于A,=80,∴=80×1.1-5=83,可得A正确;对于B显然正确;对于C,因为Y与X正相关,故相关系数为正;D显然正确.

12.CD　由题意被调查的男女生人数相同,设男生的人数为5n,n∈N+,由题意可列出2×2列联表:

χ2=

=.

由于至少有95%的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关”,

所以3.841<<6.635,解得8.0661<n,

则结合选项,被调查学生中男生的人数可能为45或50.

13.95%　因为4.844>3.841,所以有95%的把握判断主修统计专业与性别有关系.

14.参考答案:1.收集30个家庭的年收入和年支出数据;2.以年收入数据作为变量X,年支出数据作为变量Y,绘制散点图;3.观察散点图中的点是否集中在一条直线的附近;4.下结论

15.Y=-1.9X+43.5　由题意知,更正后=5,(35×7-60+53)=34,xiyi=-175+5×60-5×53=-140,=875,

所以=-1.9,=34-(-1.9)×5=43.5,所以更正后的线性回归方程为Y=-1.9X+43.5.

16.29　根据分层抽样原理,计算抽取男生120×=84(人),女生120×=36(人),所以a=84-28=56(人),b=36-9=27(人),所以a-b=56-27=29(人).

17.解 (1)列联表如下:

(2)因为χ2=≈5.227>3.841,

所以有95%的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.

18.解 (1)根据题意填写列联表如下:

计算χ2=≈8.249>6.635,

所以有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关.

(2)根据列联表中的数据,用分层抽样法抽取6名学生,其中男生2人,女生4人,故所求的概率为.

19.解 画出散点图,如图所示.

由图可知交易额Y与年份代码X近似呈现线性关系.

根据数据可得(1+2+3+4+5)=3,

(9+12+17+21+26)=17,

则(xi-)(yi-)=-2×(-8)-1×(-5)+0+1×4+2×9=43,

=2≈43.12,

所以r=≈0.997,

所以变量Y与X的线性相关程度很强.

20.解 (1)易得=m=5.5,=n=112.1,

∴≈6.9,

≈74.2,

∴所求线性回归方程为Y=6.9X+74.2.

(2)用Y=-X2+10X+68拟合效果更好.理由如下:

将X=11代入Y=6.9X+74.2中,得Y=150.1,

150.1-145.3=4.8.

将X=11代入Y=-X2+10X+68中,得Y=145,145-145.3=-0.3.

又|-0.3|<4.8,所以用Y=-X2+10X+68拟合效果更好.

21.解 (1)样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数为

r=≈0.94,

由于0.94接近1,说明各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性.

(2)更合理的抽样方法是分层抽样.理由如下:

由(1)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性,由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物的数量差异也很大,

采用分层抽样的方法能较好地保持样本结构与总体结构的一致性,提高样本的代表性,

从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.

22.解 (1)设模型(a)和(b)的相关系数分别为r1,r2.

由题意,r1==0.86,

r2=≈0.91,

所以|r1|<|r2|,由相关系数的相关性质可得,模型(b)的拟合程度更好.

(2)①由(1)知,选择模型(b).

先建立V关于X的线性回归方程,

由Y=,得lnY=X,即V=X,

由于≈0.18,=0.60,

所以V关于X的线性回归方程为V=0.18X+0.60,

所以ln Y=0.18X+0.60,

则Y=e0.18X+0.60.

②下一年销售额需达到90亿元,

即Y=90,

代入Y=e0.18X+0.60,得90=e0.18X+0.60,

又e4.499 8≈90,

所以4.499 8≈0.18X+0.60,

所以X≈21.67,

所以预测下一年的研发资金投入量约是21.67亿元.