高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识3 不等式3.2 基本不等式第2课时复习练习题

第一章第2课时　习题课　基本不等式的应用

A级 必备知识基础练

1.下列函数中最小值为4的函数是(　　)

A.y=x+ B.y=2t+

C.y=4t+(t>0) D.y=t+

2.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为(　　)

A.9 B.12 

C.16 D.10

3.(-6≤a≤3)的最大值为(　　)

A.9 B. 

C.3 D.

4.(多选题)一个矩形的周长为L,面积为S,则如下四组数对中,可作为数对(S,L)的是(　　)

A.(1,4) B.(6,8) 

C.(7,12) D.3,

5.若关于x的不等式x+≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为　　　　　. 

B级 关键能力提升练

6.当x<时,函数y=4x-2+的最大值是(　　)

A.1 B.2 

C.3 D.

7.(多选题)已知x,y是正数,且2x+y=1,则下列结论正确的是(　　)

A.xy的最大值为 

B.4x2+y2的最小值为

C.的最小值为4 

D.的最小值为4

8.已知a,b是正实数,且a+2b-3ab=0,则ab的最小值是　　　　　,a+b的最小值是　　　　　. 

9.求函数y=x+中y的取值范围.

C级 学科素养创新练

10.某火车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).

(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?

(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.

参考答案

第2课时　习题课　基本不等式的应用

1.C　A中,当x=-1时,y=-5<4,故A错误;B中,当t=-1时,y=-3<4,故B错误;C中t>0,则y=4t+2=4,当且仅当t=时,等号成立,故C正确;D中,当t=-1时,y=-2<4,故D错误.故选C.

2.C　因为a>0,b>0,所以a+4b>0,

所以不等式恒成立可转化为()·(a+4b)≥m恒成立,即[()(a+4b)]min≥m,

因为()(a+4b)=8+8+2=16,当且仅当a=4b时取等号,所以16≥m,即m的最大值为16.

3.B　∵-6≤a≤3,∴3-a≥0,a+6≥0,

由基本不等式,得,当且仅当a=-时取得等号.

4.AC　设矩形的长、宽分别为a,b,由题意L=2(a+b),S=ab,∴L=2(a+b)≥4=4,即L≥4,当且仅当a=b时,等号成立,显然A,C符合.故选AC.

5.1　关于x的不等式x+5在x∈(a,+∞)上恒成立,即为x-a+5-a在x∈(a,+∞)上恒成立,由x>a,可得x-a>0,则x-a+2=4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时,取得最小值4,则5-a≤4,可得a≥1,可得a的最小值为1.

6.A　由题意,x<,则5-4x>0,>0,则y=4x-2+=4x-5++3=-[(5-4x)+]+3≤-2+3=1,

当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立,

所以当x<时,函数y=4x-2+的最大值为1.

故选A.

7.ABC　xy=2xy()2=,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立,故A正确;

4x2+y2=(2x+y)2-4xy=1-4xy,由选项A得xy,则4x2+y2=1-4xy≥1-4,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立,故B正确;

=()(2x+y)=2+2+2=4,当且仅当,即x=,y=时,等号成立,故C正确;

=()(2x+y)=+2,当且仅当,即x=y=时,等号成立,故D错误.故选ABC.

8　1+　由a+2b-3ab=0,有3ab=a+2b≥2

即32,

所以ab(当且仅当a=2b,即a=,b=时取等号),所以ab的最小值为

由a+2b-3ab=0,可知=3,

所以a+b=()=(3+)(3+2)=1+

当且仅当,即a=,b=时取等号,

所以a+b的最小值为1+

9.解当x>1时,y=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x=2时,y取得最小值,为3;

当x<1时,y=-[(1-x)+]+1≤-2+1=-1,当且仅当x=0时,y取得最大值,为-1.

故函数y=x+中y的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).

10.解(1)设甲工程队的总造价为y元,

则y=3(150×2x+400)+7200=900(x+)+7200(2≤x≤6),

900(x+)+7200≥900×2+7200=14400.

当且仅当x=,即x=4时,等号成立.

即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14400元.

(2)由题意可得,900(x+)+7200>对任意的x∈[2,6]恒成立,即,

∴a<=(x+1)++6,

又x+1++6≥2+6=12,

当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,

∴a的取值范围为(0,12).