新教材2023_2024学年高中数学第1章预备知识测评北师大版必修第一册

第一章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.命题“∀x∈N+,a≤x”的否定是(　　)

A.∀x∈N+,a>x B.∀x∉N+,a>x

C.∃x∈N+,a>x D.∃x∉N+,a>x

2.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是(　　)

A.t>s B.t≥s

C.t<s D.t≤s

3.设集合M={x|x2-3x≤0},N=x<x<4,则M∩N=(　　)

A.x B.x<x≤3

C.{x|3≤x<4} D.{x|0≤x<4}

4.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则能使不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax成立的x的集合为(　　)

A.{x|0<x<3} 

B.{x|x<0,或x>3}

C.{x|x>3} 

D.{x|-2<x<1}

5.命题“∀x∈{x|1≤x≤3},有x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A.a≥9 

B.a≥8

C.a≥10 

D.a≤10

6.若x>0,y>0且x+y=1,则下列结论正确的是 (　　)

A.的最大值是

B.xy的最小值是

C.x2+y2的最小值是2

D.的最小值是4

7.已知a,b为正实数,且ab-3(a+b)+8=0,则ab的取值范围是(　　)

A.[2,4] 

B.(0,2]∪[4,+∞)

C.[4,16] 

D.(0,4]∪[16,+∞)

8.已知非空集合A,B满足以下两个条件:

(1)A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B=⌀;

(2)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,

则有序集合对(A,B)的个数为(　　)

A.10 B.12 

C.14 D.16

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.对于任意实数a,b,c,d,有以下四个命题,其中为真命题的是(　　)

A.若a>b,c>d,则ac>bd

B.若ac2>bc2,则a>b

C.若a>b,则

D.若a>b,c>d,则a-d>b-c

10.下列结论正确的是(　　)

A.“xy>0”是“>0”的充要条件

B.的最小值为2

C.命题“∀x>1,x2-x>0”的否定是“∃x≤1,x2-x≤0”

D.“一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)”是“a+b+c=0”的充要条件

11.若“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要条件,则实数k可以是(　　)

A.-8 B.-5 C.1 D.4

12.当一个非空数集G满足“任意a,b∈G,则a+b,a-b,ab∈G,且b≠0时,∈G”时,我们称G就是一个数域.以下关于数域的说法,其中正确的是(　　)

A.0是任何数域的元素

B.若数域G有非零元素,则2 022∈G

C.集合P={x|x=2k,k∈Z}是一个数域

D.任何一个数域的元素个数必为奇数

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素个数为　　　　. 

14.若集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-x+r=0},A∩B={-1},A∪B={-1,2},则r=　　　,p+q=　　　. 

15.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减小耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元,t变动的范围是　　　　　. 

16.已知x>0,y>0,求z=(x+2y)的最值.

甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法:

甲:z=(x+2y)=2++8≥18,

乙:z=(x+2y)≥2·2=16.

①你认为甲、乙两人解法正确的是　　　　　. 

②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确: 　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)若bc-ad≥0,bd>0,求证:.

18.(12分)已知全集U=R,集合A={x|a<x≤a+2,a∈R},B={x|-1<x<3}.

(1)若a=1,求(∁UA)∩B;

(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.

19.(12分)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.

已知集合A={x|x2-4x-12≤0},

B={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0}.

若x∈A是x∈B成立的　　　　　,判断实数m是否存在?若实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由. 

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

20.(12分)已知关于x的不等式x2-ax-2x+b<0.

(1)若此不等式的解集为(-1,2),求a,b的值;

(2)若b=2a,求该不等式的解集.

21.(12分)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a>0.

(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;

(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.

22.(12分)已知函数y=x2-2ax-1+a,a∈R.

(1)若a=2,试求函数(x>0)的最小值;

(2)对于任意的x∈[0,2],不等式y≤a成立,试求a的取值范围.

参考答案

第一章测评

1.C

2.D　t-s=4b-b2-4=-(b-2)2≤0,故t≤s.

3.B　因为M={x|x2-3x≤0}={x|0≤x≤3},N={x<x<4},

所以M∩N={x<x≤3}.

4.B　∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},

∴-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根且a<0,

∴-=-1+2=1,=-2,

∴b=-a,c=-2a,

由a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax,

得a(x2+1)-a(x-1)-2a<2ax,

得ax2-3ax<0,

∵a<0,∴x2-3x>0,∴x<0或x>3,

∴不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0,或x>3}.

5.C　当该命题是真命题时,只需当1≤x≤3时,a≥.

因为1≤x≤3时,y=x2的最大值是9,所以a≥9.

因为a≥9推不出a≥10,a≥10⇒a≥9,所以C符合要求.A为充要条件,B为必要不充分条件,D为既不充分也不必要的条件.

6.A　由基本不等式得xy≤()2=,当且仅当x=y=时,等号成立,故xy有最大值,故B错误;

∵()2=x+y+2=1+2≤1+2×=2,∴的最大值是,故A正确;

∵x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy≥1-2×,

∴x2+y2有最小值,故C错误;

∵=()(x+y)=3+≥3+2,当且仅当,即x=2-,y=-1时,等号成立,

∴有最小值3+2,故D错误.

7.D　因为a,b为正实数,则0=ab-3(a+b)+8≤ab-6+8,当且仅当a=b时,等号成立,即(-2)(-4)≥0,所以0<≤2或≥4,所以0<ab≤4或ab≥16,故ab的取值范围是(0,4]∪[16,+∞).

故选D.

8.A　根据条件,A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素.可知

(1)当集合A只有1个元素时,集合B中有5个元素,1∉A且5∉B,此时仅有一种结果A={5},B={1,2,3,4,6};

(2)当集合A有2个元素时,集合B中有4个元素,2∉A且4∉B,此时集合A中必有1个元素为4,集合B中必有1个元素为2,故有如下可能结果:

①A={1,4},B={2,3,5,6};②A={3,4},B={1,2,5,6};③A={5,4},B={1,2,3,6};④A={6,4},B={1,2,3,5}.共计4种可能;

(3)当集合A中有3个元素时,集合B中有3个元素,3∉A,3∉B,不符合条件;

(4)当集合A中有4个元素时,集合B中有2个元素,此情况与情况(2)相同,只需A,B互换即可,共计4种可能;

(5)当集合A中有5个元素时,集合B中有1个元素,此情况与情况(1)相同,只需A,B互换即可,共计1种可能.

综上所述,有序集合对(A,B)的个数为10.

9.BD　A选项:-3>-5,1>-4,但是-3×1<-5×(-4),A不正确;

B选项:因为ac2>bc2成立,则c2>0,那么a>b,B正确;

C选项:2>-3,但是>-,C不正确;

D选项:因为c>d,所以-c<-d,又a>b,所以a-d>b-c,D正确.

10.AD　xy>0⇔>0,故A正确;

y=,令t=≥3,

则y=t+,且在区间[3,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而增大,最小值为3+,故B错误;

命题“∀x>1,x2-x>0”的否定是“∃x>1,x2-x≤0”,故C错误;

一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)显然有a+b+c=0,反之亦可,故D正确.

11.ACD　由x2+3x-4<0,

解得-4<x<1,

令A={x|-4<x<1}.

x2-(2k+3)x+k2+3k>0

即(x-k)[x-(k+3)]>0,解得x<k,或x>k+3,

令B={x|x<k,或x>k+3}.

由题意知A⫋B,

所以k≥1或k+3≤-4,

即k∈(-∞,-7]∪[1,+∞).

12.ABD　当a=b时,由数域的定义可知,若a,b∈G,则有a-b∈G,即0∈G,故A正确;

当a=b≠0时,由数域的定义可知,a,b∈G,则有∈G,即1∈G,若1∈G,则1+1=2∈G,则1+2=3∈G,…,则1+2021=2022∈G,故B正确;

当a=2,b=4时,∉G,故C不正确;

由0∈G,当b∈G且b≠0时,则-b∈G,因此只要这个数不为0,就一定成对出现,所以数域的元素个数必为奇数,所以D正确.

13.3　A={-1,1},B={0,2},

∵x∈A,y∈B,

∴x=1或x=-1,y=0或y=2.

则z=x+y的值可能是-1,1,3.

故答案为3.

14.-2　3　由A∩B={-1},知-1∈B,

∴(-1)2-(-1)+r=0,

解得r=-2,

∴B={x|x2-x-2=0}={-1,2},

又A∪B={-1,2},A∩B={-1},

∴A={x|x2+px+q=0}={-1},即方程x2+px+q=0有两个相同的实数根-1,

∴Δ=p2-4q=0,且(-1)2+p(-1)+q=0,

解得p=2,q=1.

所以p+q=3.

15.[3,5]　由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20-t)万亩,则税收收入为(20-t)×24000×t%.

由题意(20-t)×24000×t%≥9000,

整理得t2-8t+15≤0,

解得3≤t≤5.

∴当耕地占用税率为3%~5%时,既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元.

∴t的范围是[3,5].

16.①甲

②答案不唯一,合理即可.

如:已知a>0,b>0,求z=(a+b)()的最小值.

甲:z=(a+b)()=1++1≥4,

乙:z=(a+b)()≥2·2=4.

17.证明∵bc-ad≥0,bd>0,

∴bc≥ad,>0,

∴bc·≥ad·,即,

∴+1≥+1,

∴,即.

18.解 (1)当a=1时,集合A={x|1<x≤3},B={x|-1<x<3}.

∴∁UA={x|x≤1或x>3},

故(∁UA)∩B={x|-1<x≤1}.

(2)∵A∪B=B,

∴A⊆B,

∴

解得-1≤a<1.

∴实数a的取值范围是[-1,1).

19.解由x2-4x-12≤0得-2≤x≤6,

故集合A={x|-2≤x≤6},

由x2-2x+1-m2=0得x1=1-m,x2=1+m,

因为m>0,故集合B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.

若选择条件①,即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,则集合A是集合B的真子集,

则有解得m≥5,

所以,实数m的取值范围是[5,+∞).

若选择条件②,即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件,则集合B是集合A的真子集,

则有

解得0<m≤3,

所以实数m的取值范围是(0,3].

若选择条件③,即x∈A是x∈B成立的充要条件,则集合A等于集合B,则有方程组无解,

所以不存在满足条件的实数m.

20.解(1)由不等式的解集为(-1,2),

可知方程x2-ax-2x+b=0的两根为-1和2,

得

解得a=-1,b=-2.

(2)若b=2a,原不等式可化为x2-(a+2)x+2a<0;

因此(x-a)(x-2)<0.

①当a<2时,原不等式等价于a<x<2;

②当a=2时,原不等式等价于(x-2)2<0,解集为空集;

③当a>2时,原不等式等价于2<x<a.

综上所述:当a<2时,原不等式的解集为(a,2);

当a=2时,原不等式的解集为空集;

当a>2时,原不等式的解集为(2,a).

21.解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)≥1.5×500,

整理得x2-300x≤0,解得0≤x≤300,

又x>0,故0<x≤300,

即x的取值范围为(0,300].

(2)由题意知,B生产线的利润为1.5(a-0.013x)x万元,技术改进后A生产线的利润为1.5(1+0.005x)(500-x)万元,

则1.5(a-0.013x)x≤1.5(1+0.005x)(500-x)恒成立,

又x>0,

∴a≤+1.5恒成立,

又≥4,

当且仅当x=250时,等号成立,

∴0<a≤5.5,

即a的最大值为5.5.

22.解(1)依题意得=x+-4.

因为x>0,

所以x+≥2.

当且仅当x=,

即x=1时,等号成立.

所以≥-2.

故当x=1时,的最小值为-2.

(2)因为y-a=x2-2ax-1,

所以要使得对于任意的x∈[0,2],不等式y≤a成立,

只要x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立.

不妨设z=x2-2ax-1,

则只要z≤0在[0,2]上恒成立.

所以

解得a≥.

所以a的取值范围是.