新教材2023_2024学年高中数学第3章指数运算与指数函数测评北师大版必修第一册

第三章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.函数y=ax在[0,1]上最大值与最小值的和为3,则a=(　　)

A.2 B. 

C.4 D.

2.如果关于x的方程2x-1-m=0没有实数解,则实数m的取值范围是(　　)

A.(0,+∞) B.(-∞,0)

C.[0,+∞) D.(-∞,0]

3.若函数y=f(x)的定义域为(0,2),则函数y=f(3-3x)的定义域为(　　)

A.(0,1) B.(0,2)

C.(1,3) D.(-6,2)

4.已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 (　　)

A.a>b>c B.b>a>c

C.c>b>a D.c>a>b

5.函数y=a|x|+1(a>0,a≠1),x∈[-k,k],k>0的图象可能为(　　)

6.已知函数f(+1)=,则函数f(x)的值域为(　　)

A.(-∞,1] B.[1,+∞) 

C.(0,+∞) D.(0,1]

7.若函数f(x)=在R上单调递增,则正实数a的取值范围是(　　)

A.(0,1) B.(1,]

C.(1,) D.[,+∞)

8.已知函数f(x)=若存在实数x1,x2,x3,当0≤x1<x2<x3≤3时,f(x1)=f(x2)=f(x3),则(x1+x2)x2f(x3)的取值范围是(　　)

A. B. 

C. D.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则下列选项中正确的有(　　)

A.a>1 B.0<a<1 C.b>0 D.b<0

10.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(a>0,且a≠1)(t≥0)的图象.以下说法正确的是(　　)

A.每月减少的有害物质质量都相等

B.第4个月时,剩留量就会低于

C.污染物每月的衰减率为

D.当剩留时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2>t3

11.已知实数a,b满足等式a=b,则下列五个关系式中可能成立的是(　　)

A.a>b>0 B.a<b<0

C.0<a<b D.a=b

12.定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=4x,下列结论正确的有(　　)

A.f(x)=,且0<f(1)<g(2)

B.∀x∈R,总有[g(x)]2-[f(x)]2=1

C.∀x∈R,总有f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=0

D.∃x∈R,使得f(2x)>2f(x)g(x)

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.+-2-=　　　　　. 

14.已知函数g(x)=2x,且有g(a)g(b)=2,若a>0且b>0,则ab的最大值为　　　　. 

15.函数f(x)=a2-x-1(a>0,且a≠1)恒过定点　　　　　,当a>1时,f(x2)的单调递增区间为　　　　　. 

16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈(-∞,0)时单调递增,若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则实数a的取值范围是　　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)比较下列各题中两个数的大小:

(1);

(2)a0.5与a0.6(a>0,且a≠1).

18.(12分)已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点.

(1)求指数函数f(x)的解析式;

(2)求满足不等式f(|x|)<的实数R的取值范围.

19.(12分)设函数y=f(x)=4x-2a+x-a,a∈R.

(1)当a=2时,解不等式f(x)>30;

(2)当x∈(-1,1)时,f(x)存在最小值-2,求a的值.

20.(12分)已知函数y=+1的定义域为[-3,2].求:

(1)函数的单调区间;

(2)函数的值域.

21.(12分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).

(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值;

(2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围;

(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.

图①　　　　　　　　图②

22.(12分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.

(1)求m,n的值;

(2)当x∈时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.

参考答案

第三章测评

1.A　根据题意,由y=ax的单调性,可知其在[0,1]上是单调函数,即当x=0和1时,函数取得最值,即a0+a1=3,又a0=1,则a1=2,即a=2.故选A.

2.D　方程2x-1-m=0即为2x-1=m,由指数函数的性质知2x-1>0,故当m≤0时方程无解,所以正确选项为D.

3.A　由题意,需0<3-3x<2,即1<3x<3,

所以0<x<1.

4.A　a=,b=,

∵y=2x在R上为增函数,且>0,

∴a>b>1.

∵y=3x在R上为增函数,且-<0,

∴c=<30=1.

∴a>b>c.

5.C　由题意知,y=a|x|+1为偶函数,且y>1,排除A,B.当a>1时,函数图象在[0,k]上单调递增,排除D.故选C.

6.D　设+1=t,

则=t-1且t≥1,f(t)=()t-1,

∵t-1≥0,

∴()t-1∈(0,1].

7.B　∵函数f(x)=在R上单调递增,

∴解得1<a≤.故选B.

8.A　作出函数图象,如图所示,由图可知x1+x2=2,1-x1=x2-1=,得x2=+1,

则y=(x1+x2)x2f(x3)=2.

令t=,x3∈(2,3],

得t∈,

又y=2(t+1)t=2t2+2t,且y=2t2+2t在上单调递增,则y的取值范围为.

9.AD　因为函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,所以其大致图象如图所示:

由图象可知函数为增函数,所以a>1.

当x=0时,y=1+b-1=b<0.

10.BC　∵y=at(a>0,且a≠1)(t≥0)的图象经过点,∴=a2,∴a=,即y=.

故1月到2月,减少的有害物质质量为,2月到3月,减少的有害物质质量为,

故每月减少的有害物质质量都相等是错误的,故A错误;

当t=4时,有害物质的剩留量y=,故B正确;

污染物每月的衰减率为1-,故C正确;

当剩留时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,

则.

因为,所以t1+t2=t3,故D错误.

故选BC.

11.ABD　作出函数y=()x和y=()x的图象,借助图象分析满足等式()a=()b时a,b的大小关系,如图所示:

若a,b均为正数,则a>b>0;

若a,b为负数,则a<b<0;

若a=b=0,则()a=()b=1.

12.ABC　∵函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且满足f(x)+g(x)=4x,

∴f(-x)+g(-x)=4-x,即-f(x)+g(x)=4-x,与f(x)+g(x)=4x联立,

可得g(x)=,f(x)=.

选项A,f(1)=,g(2)=,

∴0<f(1)<g(2).故A正确;

选项B,[g(x)]2-[f(x)]2=[g(x)-f(x)][g(x)+f(x)]=4-x·4x=1,故B正确;

选项C,f(-x)g(-x)+f(x)g(x)==0,故C正确;

选项D,f(2x)=,2f(x)g(x)=2×=2×,

∴f(2x)=2f(x)g(x),故D错误.

13.29-π　+()-2-+2(-1)×(-2)-|3-π|+(-3)=25+4-π+3-3=29-π.

14.　由g(a)g(b)=2,

得2a·2b=2,

∴a+b=1,∴ab≤()2=,

当且仅当a=b=时,等号成立,

所以ab的最大值为.

15.(2,0)　(-∞,0]　函数f(x)=a2-x-1(a>0,且a≠1)中,

令2-x=0,解得x=2,

又f(2)=1-1=0.

∴函数f(x)恒过定点(2,0),由已知得f(x2)=-1.

∵t=2-x2在(-∞,0]上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,

故当a>1时,f(x2)在(-∞,0]上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,

∴f(x2)的单调递增区间为(-∞,0].

16.()　因为函数f(x)是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,

所以在(0,+∞)上单调递减,

所以f(2|a-1|)>f(-)=f(),

所以2|a-1|<,

所以|a-1|<,

解得<a<.

17.解(1)可看成指数函数y=的两个函数值.

∵0<<1,

∴函数y=在R上是减函数.

∵-,∴.

(2)a0.5与a0.6可看成指数函数y=ax的两个函数值.

当0<a<1时,函数y=ax在R上是减函数.

∵0.5<0.6,∴a0.5>a0.6.

当a>1时,函数y=ax在R上是增函数.

∵0.5<0.6,∴a0.5<a0.6.

综上所述,当0<a<1时,a0.5>a0.6;

当a>1时,a0.5<a0.6.

18.解(1)因为f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点,

所以a2=,

得a=.

所以f(x)=,x∈R.

(2)由题可得,

即,

所以|x|>2,

解得x<-2或x>2,

所以{x|x<-2,或x>2}.

19.解设2x=t(t>0),则y=t2-2a·t-a,

(1)当a=2时,f(x)>30⇔y=t2-4t-32>0,

∴t<-4或t>8.

∵t>0,∴t>8,∴2x>8,∴x>3,

∴不等式的解集为{x|x>3}.

(2)由题意知,函数图象的对称轴为直线t0=2a-1∈,即0<a<2,

故函数的最小值为=-2,

∴a+22a-2=2,由于关于a的函数y=a+22a-2单调递增,

故最多有一个实根,而当a=1时,a+22a-2=2,

∴a的值为1.

20.解(1)令t=,则y=t2-t+1=,当x∈(1,2]时,t=单调递减,此时t∈,

在此区间上y=单调递减,

所以原函数在区间(1,2]上单调递增.

当x∈[-3,1]时,t=单调递减,此时t∈,

在此区间上y=单调递增,

所以原函数在[-3,1]上单调递减.

故原函数的单调递增区间为(1,2],单调递减区间为[-3,1].

(2)由(1)可知当x=1时,t=,函数取最小值;当x=-3时,t=8,函数取最大值57.

故函数的值域为.

21.解(1)因为f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),

所以解得a=,b=-3.

(2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1),

因为f(0)=1+b<0,即b<-1,

所以b的取值范围为(-∞,-1).

(3)由题图①可知y=|f(x)|的图象如图所示.

由图可知使|f(x)|=m有且仅有一个实数解的m的取值范围为{m|m=0或m≥3}.

22.解(1)∵f(x)在定义域R上是奇函数,

∴f(0)=0,

∴n=1.

又由f(-1)=-f(1),得m=2.

检验知,当m=2,n=1时,原函数是奇函数.

(2)由(1)知f(x)==-,

任取x1,x2∈R,

设x1<x2,

则f(x2)-f(x1)=.

∵函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,

∴<0.又(+1)(+1)>0,

∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),

∴函数f(x)在R上是减函数.

∵f(x)是奇函数,

∴不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等价于f(kx2)>-f(2x-1)=f(1-2x).

又f(x)在R上是减函数,由上式推得kx2<1-2x,即对一切x∈有k<恒成立.

设g(x)=-2·,令t=,t∈,则有h(t)=t2-2t,t∈,

∴g(x)min=h(t)min=h(1)=-1,

∴k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1).