数学必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解课后测评

第五章1.2　利用二分法求方程的近似解

A级 必备知识基础练

1.已知函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)上的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间(　　)

A.(1,1.25) 

B.(1.25,1.5)

C.(1.5,2) 

D.不能确定

2.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有 (　　)

A.f(x)=3x-1 

B.f(x)=x2-4x+4

C.f(x)=log4x 

D.f(x)=ex-2

3.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点,且不能用二分法求该函数的零点,则m的取值范围是(　　)

A.(4,+∞) 

B.(-∞,4)

C.{4} 

D.[4,+∞)

4.(多选题)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值,如表所示:

则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度0.1)可取为 (　　)

A.2.52 B.2.56

C.2.66 D.2.75

5.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为　　　　　. 

6.一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测　　　　　次. 

7.用二分法求函数y=x3-3的一个正零点(精确度0.1).

B级 关键能力提升练

8.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),1,,内,则与f(0)符号不同的是(　　)

A.f(4) B.f(2) C.f(1) D.f

9.已知函数f(x)=2x-在区间(1,2)上有一个零点x0,如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

10.求方程3x+=0的近似解(精确度0.1).

11.已知方程2x+2x=5.

(1)判断该方程解的个数以及所在区间;

(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).

参考数值:

12.某公司生产A种型号的电脑,2019年平均每台电脑的生产成本为5 000元,并按纯利润为20%定出厂价.2020年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低,2023年平均每台A种型号的电脑出厂价仅是2019年的80%,实现了纯利润50%.

(1)求2023年每台A种型号电脑的生产成本;

(2)以2019年的生产成本为基数,用二分法求2019~2023年间平均每年生产成本降低的百分率(精确度0.01).

C级 学科素养创新练

13.已知函数f(x)=x3-x2+1.

(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;

(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.

参考答案

1.2　利用二分法求方程的近似解

1.B　∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,

∴f(1.25)·f(1.5)<0,因此方程的解落在区间(1.25,1.5)内,故选B.

2.ACD　f(x)=x2-4x+4=(x-2)2,f(2)=0,当x<2时,f(x)>0,当x>2时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD.

3.C　易知方程x2-4x+m=0有实数根,且Δ=16-4m=0,知m=4.

4.AB　由表格函数值在0的左右两侧,最接近的值,即f(2.5)≈-0.084,f(2.5625)≈0.066可知方程lnx+2x-6=0的近似根在(2.5,2.5625)内,因此选项A中2.52符合,选项B中2.56也符合,故选AB.

5.1　记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数根.由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在性定理可得f(1)·f(2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.

6.6　第1次取中点把焊点数减半为=32,第2次取中点把焊点数减半为=16,第3次取中点把焊点数减半为=8,第4次取中点把焊点数减半为=4,第5次取中点把焊点数减半为=2,第6次取中点把焊点数减半为=1,所以至多需要检测的次数是6.

7.解 ∵f(1)=1-3=-2<0,f(2)=23-3=5>0,

因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,见下表:

从表中可知|1.5-1.4375|=0.0625<0.1,

∴函数y=x3-3精确度为0.1的零点,可取1.44.

8.ABD　由二分法的步骤可知

①零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;

②零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;

③零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点;

④零点在(1,)内,则有f(1)·f)<0,则f(1)>0,f<0,则取中点;

⑤零点在内,则有f·f<0,

则f>0,f<0,

所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f,故选ABD.

9.C　由于每等分一次,零点所在区间的长度变为原来的,则等分n次后的区间长度变为原来的,则由题可得<0.01,即n>log2100,又6<log2100<7,则至少等分的次数为7.故选C.

10.解原方程可化为3x-+1=0,即3x=-1.

令g(x)=3x,h(x)=-1,在同一平面直角坐标系中,分别画出函数g(x)=3x与h(x)=-1的简图.

g(x)与h(x)图象的交点的横坐标位于区间(-1,0),且只有一个交点,

∴原方程只有一个解x=x0.

令f(x)=3x+=3x-+1,

∵f(0)=1-1+1=1>0,

f(-0.5)=-2+1=<0,

∴x0∈(-0.5,0).

用二分法逐次计算,列表如下:

∵|-0.4375-(-0.375)|=0.0625<0.1,

∴原方程的近似解可取为-0.4375.

11.解(1)令f(x)=2x+2x-5.

因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,

所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.

因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,

所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.

(2)用二分法逐次计算,列表如下:

因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.3125-1.25|=0.0625<0.1,

所以函数的零点近似值可取1.3125,

即方程2x+2x=5的近似解为1.3125.

12.解(1)设2023年每台A种型号电脑的生产成本为p元,

根据题意,得(1+50%)p=5000×(1+20%)×80%,解得p=3200.

故2023年每台A种型号电脑的生产成本为3200元.

(2)设2019~2023年间平均每年生产成本降低的百分率为x(0<x<1),

根据题意,得5000(1-x)4=3200.

令f(x)=5000(1-x)4-3200,求出x与f(x)的对应值(精确到个位)如下表:

所以原方程的近似解可取0.1025.

故平均每年生产成本降低的百分率约为10.25%.

13.(1)证明∵f(0)=1>0,f(2)=-<0,

∴f(0)·f(2)=-<0,函数f(x)=x3-x2+1是连续函数,由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.

(2)解取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)f(2)<0,下一个有解区间为(1,2),取x2=(1+2)=,得f=-<0,由f(1)·f<0,则下一个有解区间为1,.

综上所述,实数解x0在较小区间1,内.