北师大版 (2019)必修 第一册第七章 概率4 事件的独立性课堂检测

第七章§4　事件的独立性

A级 必备知识基础练

1.某闯关游戏规则如下:在主办方预设的6个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,闯关成功.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于(　　)

A.0.064 B.0.144

C.0.216 D.0.432

2.(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋中各摸出一个球,下列结论正确的是(　　)

A.2个球都是红球的概率为

B.2个球不都是红球的概率为

C.至少有1个红球的概率为

D.2个球中恰有1个红球的概率为

3.某人有4把钥匙,其中2把能打开门,现随机地取1把钥匙试着开门,不能开门的就扔掉,问第二次才能开门的概率是　　　　　;如果试过的钥匙不扔掉,这个概率是　　　　　. 

4.甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击一次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:

(1)2人都射中目标的概率;

(2)2人中恰有1人射中目标的概率;

(3)2人至少有1人射中目标的概率.

B级 关键能力提升练

5.(多选题)已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是(　　)

A.若B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5

B.若A,B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0

C.若A,B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0

D.若A,B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.4

6.投壶是我国古代的一种娱乐活动,比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种,其中“有初”算“两筹”,“贯耳”算“四筹”,“散射”算“五筹”,“双耳”算“六筹”,“依竿”算“十筹”,三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为,投中“贯耳”的概率为,投中“散射”的概率为,投中“双耳”的概率为,投中“依竿”的概率为,未投中(0筹)的概率为.乙的投掷水平与甲相同,且甲、乙投掷相互独立.比赛第一场两人平局,第二场甲投中“有初”,乙投中“双耳”,则三场比赛结束时,甲获胜的概率为(　　)

A. B.

C. D.

7.甲、乙、丙三人向同一飞机射击,设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8,若只有1人击中,则飞机被击落的概率为0.2,若2人击中,则飞机被击落的概率为0.6,若3人击中,则飞机一定被击落,则飞机被击落的概率为　　　. 

8.田忌赛马的故事出自司马迁的《史记》,话说齐王、田忌分别有上、中、下等马各一匹,赛马规则是:一场比赛需要比赛三局,每匹马都要参赛,且只能参赛一局,最后以获胜局数多者为胜.记齐王、田忌的马匹分别为A1,A2,A3和B1,B2,B3,每局比赛之间都是相互独立的,而且不会出现平局.用(i,j∈{1,2,3})表示马匹Ai与Bj比赛时齐王获胜的概率,若=0.8,=0.9,=0.95;=0.1,=0.6,=0.9;=0.09,=0.1,=0.6.则一场比赛共有　　　　　种不同的比赛方案;在上述所有的方案中,有一种方案田忌获胜的概率最大,此概率的值为　　　　　. 

9.某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯,汽车在甲、乙、丙三个地方通过(即通过绿灯)的概率分别是,对于该大街上行驶的汽车,求:

(1)在三个地方都不停车的概率;

(2)在三个地方都停车的概率;

(3)只在一个地方停车的概率.

10.在一个选拔节目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响.

(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;

(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

C级 学科素养创新练

11.一个系统如图所示,A,B,C,D,E,F为6个部件,其正常工作的概率都是,且是否正常工作是相互独立的,当A,B都正常工作,或C正常工作,或D正常工作,或E,F都正常工作时,系统就能正常工作,则系统正常工作的概率是(　　)

A. B. C. D.

参考答案

§4　事件的独立性

1.B　选手恰好回答了4个问题就闯关成功,则第1个问题可能正确,也可能不正确,第2个问题不正确,第3,4个问题正确.故P=0.6×0.4×0.6×0.6+0.4×0.4×0.6×0.6=0.144.故选B.

2.ACD　设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2,则P(A1)=,P(A2)=,且A1,A2相互独立.

A中,概率为P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,正确;B中,是“两个都是红球”的对立事件,其概率为1-P(A1A2)=,错误;C中,2个球中至少有1个红球的概率为1-P()P()=1-,正确;D中,2个球中恰有1个红球的概率为P(A1)+P(A2)=,正确.故选ACD.

3　由题意知,第二次打开门,说明第一次没有打开门,故第二次打开门的概率为如果试过的钥匙不扔掉,这个概率为

4.解记“甲射击1次,击中目标”为事件A,“乙射击1次,击中目标”为事件B,则A与B,与B,A与为相互独立事件,

(1)2人都射中的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72,故2人都射中目标的概率是0.72.

(2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中(即事件A),另一种是甲未击中、乙击中(即事件B),根据题意,事件AB互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26,故2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.

(3)(方法一)2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况,其概率为P=P(AB)+[P(A)+P(B)]=0.72+0.26=0.98.

(方法二)“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件,2人都未击中目标的概率是P()=P()P()=(1-0.8)×(1-0.9)=0.02,故“两人至少有1人击中目标”的概率为P=1-P()=1-0.02=0.98.

5.BD　若B⊆A,则A∪B=A,A∩B=B,则P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A错误;

若A,B互斥,则AB为不可能事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7,P(AB)=0,故B正确;

若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.2=0.1,故C错误;

若A,B相互独立,则P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D正确.

故选BD.

6.C　由题可知,

甲要想赢得比赛,在第三场比赛中,比乙至少多得五筹,甲得“五筹”,乙得“零筹”,甲可赢,概率为P1=;

甲得“六筹”,乙得“零筹”,甲可赢,概率为P2=;

甲得“十筹”,乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”,甲可赢,概率为P3=

∴三场比赛结束时,甲获胜的概率为P=P1+P2+P3=

7.0.492　设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A,B,C,依题意,A,B,C相互独立,故所求事件概率为P=[P(A)+P()+P(C)]×0.2+[P(AB)+P(BC)+P(AC)]×0.6+P(ABC)=(0.4×0.5×0.2+0.6×0.5×0.2+0.6×0.5×0.8)×0.2+(0.4×0.5×0.2+0.6×0.5×0.8+0.4×0.5×0.8)×0.6+0.4×0.5×0.8=0.492.

8.6　0.819　由题意可知,所有的比赛方案为(A1B1,A2B2,A3B3),(A1B1,A2B3,A3B2),(A1B2,A2B1,A3B3),(A1B2,A2B3,A3B1),(A1B3,A2B2,A3B1),(A1B3,A2B1,A3B2),故一场比赛共6种不同的比赛方案.

其中采用方案(A1B3,A2B1,A3B2),则田忌获胜的概率最大,记田忌三局全胜和恰胜两局的概率分别为P1,P2,

则P1=0.05×0.9×0.9=0.0405,

P2=0.05×0.9×0.1×2+0.95×0.9×0.9=0.7785,

所以有一种方案田忌获胜的概率最大,此概率的值为0.0405+0.7785=0.819.

9.解记汽车在甲地遇到绿灯为事件A,汽车在乙地遇到绿灯为事件B,汽车在丙地遇到绿灯为事件C,则P(A)=,P()=,P(B)=,P()=,P(C)=,P()=

(1)在三个地方都不停车的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=

(2)在三个地方都停车的概率为P()=P()P()P()=

(3)只在一个地方停车的概率为

P(BC+AC+AB)=P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=

10.解设事件Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=

(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”,

则P(B)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()=(1-)=

(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”,

则P(C)=P(+A1+A1A2)=P()+P(A1)+P(A1A2)=1-(1-)+(1-)=

11.A　设“C正常工作”为事件G,“D正常工作”为事件H,“A与B中至少有一个不正常工作”为事件T,“E与F中至少有一个不正常工作”为事件R,则P(G)=P(H)=,P(T)=P(R)=1-,故系统正常工作的概率P=1-P(T)P(R)P()P()=