数学选择性必修 第二册3.2 等比数列的前n项和第一课时精练

第一章3.2　等比数列的前n项和

第1课时　等比数列前n项和的推导及初步应用

A级 必备知识基础练

1.[2023江西抚州统考模拟预测]已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a4a5=3a8,S3=39,则a4=(　　)

A.64 B.81 C.128 D.192

2.在等比数列{an}中,已知a1=3,an=48,Sn=93,则n的值为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

3.已知等比数列{an}的首项为-1,前n项和为Sn,若,则公比q为(　　)

A.1 B. C.-1 D.-

4.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于(　　)

A. B.- C. D.-

5.[2023江西高三阶段练习]若一个等比数列的首项为,公比为2,S是该等比数列前10项之和,S'是该等比数列前10项的倒数之和,则=(　　)

A.16 B.32 C.64 D.128

6.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于(　　)

A.-6×(1-3-10) B.×(1-3-10)

C.3×(1-3-10) D.3×(1+3-10)

7.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=　　　　. 

8.记Sn为等比数列{an}的前n项和.设S3=6,S4=a1-3,则公比q=　　　,S4=　　　. 

9.在等比数列{an}中,a1=1,a9=9a7.

(1)求{an}的通项公式;

(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=61,求m的值.

B级 关键能力提升练

10.在等比数列{an}中,对任意n∈N+,a1+a2+…+an=2n-1,则+…+等于(　　)

A.(2n-1)2 B. C.4n-1 D.

11.一弹球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程之和约是(结果保留到个位)(　　)

A.300米 B.299米 C.199米 D.166米

12.设数列{an}的前n项和为Sn,称Tn=为数列a1,a2,a3,…,an的“理想数”,已知数列a1,a2,a3,a4,a5的理想数为2 014,则数列2,a1,a2,…,a5的“理想数”为(　　)

A.1 673 B.1 675 C. D.

13.[2023山东淄博沂源第一中学校考期中]已知数列{an}满足a1=2,对于任意正整数n都有2an+1-an=0,则数列{an}的前6项和是(　　)

A. B. C.30 D.126

14.(多选题)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则下列说法正确的是(　　)

A.q=2

B.=9

C.S3,S6,S9成等比数列

D.Sn=2an+a1

15.[2023湖北校联考模拟预测]为平衡城市旅游发展和生态环境保护,某市计划通过五年时间治理城市环境污染,预计第一年投入资金81万元,以后每年投入资金是上一年的倍;第一年的旅游收入为20万元,以后每年旅游收入比上一年增加10万元,则这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为(　　)

A.325万元 B.581万元 C.721万元 D.980万元

16.设数列{an}的前n项和为Sn,点n,(n∈N+)均在直线y=x+上.若bn=,则数列{bn}的前n项和Tn=　　　　　. 

17.已知在公比小于1的等比数列{an}中,其前n项和为Sn,a2=,S3=.

(1)求an;

(2)求证:≤Sn<1.

C级 学科素养创新练

18.设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,n∈N+.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.

参考答案

3.2　等比数列的前n项和

第1课时　等比数列前n项和的推导及初步应用

1.B　由等比数列的性质可知a4a5=a1a8=3a8,所以a1=3.

由S3=39,得a1(1+q+q2)=39,所以q2+q-12=0,解得q=3或q=-4(舍去),

所以a4=a1q3=81.

故选B.

2.B　显然公比q≠1,由Sn=,得93=,解得q=2.由an=a1qn-1,得48=3×2n-1,解得n=5.故选B.

3.D　当公比q=1时,=2,不满足题意,当q≠1时,S10=,S5=,

所以=q5+1=,解得q=-.

故选D.

4.C　设等比数列{an}的公比为q,由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.

5.B　依题意可得该等比数列前10项的倒数构成一个新的等比数列,且其首项为4,公比为.

故=32.

故选B.

6.C　由3an+1+an=0,得=-,

故数列{an}是公比q=-的等比数列.

又a2=-,可得a1=4.

所以S10==3×(1-3-10).故选C.

7.3　∵S6=4S3,∴q≠1,

∴,

∴q3=3,∴a4=a1·q3=1×3=3.

8.-　5　由S3=6,S4=a1-3,

得

解得q=-,a1=8,则S4=a1-3=8-3=5.

9.解(1)设等比数列{an}的公比为q,则an=qn-1,

因为a9=9a7,所以q8=9q6,解得q=0(舍去),q=-3或q=3,故an=(-3)n-1或an=3n-1.

(2)若q=-3,则Sn=,

由Sm=61,得(-3)m=-243,解得m=5;

若q=3,则Sn=,由Sm=61,得3m=123,

因为m∈N+,所以此方程没有正整数解.

综上,m=5.

10.D　∵a1+a2+…+an=2n-1,∴a1=21-1=1.

∵a1+a2=1+a2=22-1=3,∴a2=2,

∴{an}的公比为2.∴{}的公比为4,首项为=1.

∴+…+.

11.A　小球10次着地共经过的路程为100+100+50+…+100×=100+100×=300-=299≈300(米).

12.D　因为数列a1,a2,…,a5的“理想数”为2014,

所以=2014,

即S1+S2+S3+S4+S5=5×2014,

所以数列2,a1,a2,…,a5的“理想数”为.

13.B　对任意的n都有2an+1-an=0,则an+1=an,且a1=2,

所以数列{an}是首项为2,公比为的等比数列.

因此数列{an}的前6项和是=4×.

故选B.

14.AB　若a6=8a3,则有q3==8,可解得q=2,A正确;由q=2,则=9,B正确;由q=2,则S3==7a1,S6==63a1,S9==511a1,S3,S6,S9不是等比数列,C错误;由q=2,则Sn==(2n-1)a1,an=a1×qn-1=2n-1a1,Sn=2an+a1不成立,D错误,故选AB.

15.B　根据题意可知,这五年投入的金额构成首项为81,公比为的等比数列,所以这五年投入的资金总额是=781(万元).

由题意可知,这五年的旅游收入构成首项为20,公差为10的等差数列,所以这五年的旅游总收入是20×5+×10=200(万元).

所以这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为781-200=581(万元).

故选B.

16.　依题意得=n+,即Sn=n2+n.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n-.

当n=1时,a1=S1=,符合an=2n-,

所以an=2n-(n∈N+),

则bn==32n=9n,

由=9,

可知{bn}为公比为9的等比数列,b1=9,

故Tn=.

17.(1)解设等比数列{an}的公比为q.

由

解得(舍去),

所以an=.

(2)证明由(1)得an=,

所以Sn==1-.

因为函数y=在R上为减函数,且y=>0恒成立,

所以当n∈N+,n≥1时,0<,

所以≤Sn<1.

18.解(1)∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,

∴a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=(n≥2),

两式相减得3n-1an=(n≥2),

∴an=(n≥2).

验证当n=1时,a1=也满足上式,

故an=(n∈N+).

(2)∵bn==n·3n,

∴Sn=1×3+2×32+3×33+…+n·3n, ①

①×3,得3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n·3n+1, ②

由①-②,得-2Sn=3+32+33+…+3n-n·3n+1,

即-2Sn=-n·3n+1,

∴Sn=·3n+1+(n∈N+).