高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列3 等比数列3.2 等比数列的前n项和第二课时课时练习

第一章第2课时　等比数列前n项和的综合应用

A级 必备知识基础练

1.已知数列{an}是递减的等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a3+a4=9,a2a5=18,则S2·a6=(　　)

A.54 B.36 C.27 D.18

2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为(　　)

A. B.- C. D.-

3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于(　　)

A. B.- C. D.

4.设Sn为等比数列{an}的前n项和,a2-8a5=0,则的值为(　　)

A. B.2 C. D.17

5.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则= (　　)

A.2 B. C. D.3

6.[2023江西九江统考三模]已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1+an=2n,则S9=　　　　　. 

7.[2023黑龙江鸡西第四中学校考期中]在等比数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,S2=3,S4=9,则S6=　　　　　. 

8.[2023河北承德统考模拟预测]已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=,S6-S3=14,则a9=　　　　　. 

9.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求b1+b3+b5+…+b2n-1的和.

B级 关键能力提升练

10.已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2+bn+c,等比数列{bn}的前n项和Tn=3n+d,则向量a=(c,d)的模为(　　)

A.1 B. C. D.无法确定

11.记Sn为等比数列{an}的前n项和,若数列{Sn-2a1}也为等比数列,则=(　　)

A. B.1 C. D.2

12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S10=2,S30=14,则S40=(　　)

A.20 B.30 C.40 D.50

13.已知等比数列{an},首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,若数列{Sn+1}是等比数列,则(　　)

A.a1-q=1 B.q-a1=1

C.Sn-qn-1=1 D.Sn-a1qn=1

14.(多选题)在公比为q的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1=1,a5=27a2,则下列说法正确的是(　　)

A.q=3

B.数列{Sn+2}是等比数列

C.S5=121

D.2log3an=log3an-2+log3an+2(n≥3)

15.[2023吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测]设Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S3=,S6=,则log2a3+log2a5=　　　　　. 

16.[2023浙江宁波余姚中学校考期中]在北京冬奥会开幕式上,由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”给全世界留下了深刻印象,以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥主题和“更高、更快、更强、更团结”的奥林匹克格言.1904年,瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化,构造出了“雪花曲线”:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边(如图).反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”.设原正三角形(图①)的边长为1,则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为　　　　　,如果这个操作过程可以一直继续下去,那么所得图形的面积将趋近于　　　　　. 

17.[2023山东德州高二统考期中]已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+2.

(1)证明数列{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{an}落入区间(10,2 023)的所有项的和.

C级 学科素养创新练

18.已知Sn为数列{an}的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.

(1)证明:{Sn-n+2}为等比数列;

(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn,求Tn.

参考答案

第2课时　等比数列前n项和的综合应用

1.C　因为数列{an}是递减的等比数列,a3+a4=9,a2a5=a3a4=18,

所以a3=6,a4=3,

所以q=,a6=a3q3=6×,a1==24,a2==12,

所以S2=a1+a2=24+12=36,

则S2·a6=36×=27.故选C.

2.C　∵Sn=x·3n-1-·3n-,

由Sn=A(1-qn),得,∴x=,故选C.

3.A　因为a7+a8+a9=S9-S6,且S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以8(S9-S6)=1,即S9-S6=,所以a7+a8+a9=.

4.C　=q3=,∴q=.

∴=1+=1+q4=.

5.B　由题意知q≠1,否则=2≠3.

∴=1+q3=3,∴q3=2.

∴.

6.341　因为a1=1,an+1+an=2n,所以S9=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+(a8+a9)=1+22+24+26+28==341.

7.21　设等比数列{an}的公比为q,由S2=3,S4=9,得a3+a4=S4-S2=6,

而a3+a4=q2(a1+a2)=3q2,于是q2=2,

所以S6=S4+a5+a6=9+q2(a3+a4)=9+2×6=21.

8.64　设等比数列的公比为q,则S3==a1+a2+a3,S6-S3=a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3=14,故q=2.

又因为S3==a1+a1q+a1q2,所以a1=.

所以a9=a1q8=×28=26=64.

9.解(1)设数列{an}的公差为d,因为a2+a4=2a3=10,

所以a3=5=1+2d,所以d=2,所以an=2n-1(n∈N+).

(2)设数列{bn}的公比为q,因为b2b4=a5,所以q·q3=9,所以q2=3,所以{b2n-1}是以b1=1为首项,q'=q2=3为公比的等比数列,所以b1+b3+b5+…+b2n-1=.

10.A　由等差数列与等比数列的前n项和公式知,c=0,d=-1,所以向量a=(c,d)的模为1.

11.A　根据题意,设等比数列{an}的公比为q,

若数列{Sn-2a1}为等比数列,则S1-2a1,S2-2a1,S3-2a1为等比数列,

则有(S2-2a1)2=(S1-2a1)(S3-2a1),

即(a2-a1)2=(-a1)(a2+a3-a1),

变形可得(q-1)2=(-1)(q2+q-1),

解得q=或q=0,

又因为q≠0,则q=.故选A.

12.B　根据题意,在等比数列{an}中,设其公比为q,

若S10=2,S30=14,必有q>0且q≠1,

则有

则有=1+q10+q20=7,变形可得q20+q10-6=0,

解得q10=2,q10=-3(舍去).

又因为S10=(1-q10)=2,变形可得=-2,

故S40=(1-q40)=30.故选B.

13.B　若公比q=1,则Sn=na1,

由数列{Sn+1}是等比数列,

知(S2+1)2=(S1+1)(S3+1),

即(2a1+1)2=(a1+1)(3a1+1),

化简,得4=3,所以a1=0,与{an}是等比数列相矛盾,故q≠1,

所以Sn=,

则Sn+1=+1=+1-·qn=+1-·qn-1,

因为数列{Sn+1}是等比数列,

所以+1=0,即q-a1=1,

所以Sn+1=-·qn-1=·qn-1=qn,

即Sn-qn=-1.

故选B.

14.ACD　∵a5=27a2,∴q3=27,∴q=3,故选项A正确;

又a1=1,∴an=3n-1,Sn=,∴Sn+2=≠常数,故选项B错误;

∵S5==121,∴选项C正确;

∵2log3an=2(n-1),log3an-2+log3an+2=n-3+n+1=2(n-1),∴2log3an=log3an-2+log3an+2(n≥3),故选项D正确.

15.2　设等比数列{an}的公比为q,

则S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+q3(a1+a2+a3)=S3(1+q3),

所以q3=-1=8,则q=2.

又因为S3==7a1=,可得a1=,则a4=a1q3=×8=2.

由对数的运算性质以及等比中项的性质可得log2a3+log2a5=log2(a3a5)=log2=log222=2.

16.　若第n幅图中图形的边数记为Nn,则Nn=4Nn-1(n≥2),又N1=3,故Nn=N1·4n-1=3·4n-1.

设原正三角形(图①)的边长为1,面积S=,

故第n幅图比第(n-1)幅图新增部分的面积为Sn=S·Nn-1=S(n≥2),

则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为S3=.

从而图形的总面积

Tn=S+S2+S3+…+Sn=S+S+…+=S,

当n→+∞时,→0,Tn不断地趋于S,S=.

17.解(1)由an+1=2an+2,得an+1+2=2(an+2),

又因为a1+2=3,所以=2.

所以{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列.

所以an+2=3×2n-1,an=3×2n-1-2.

(2)由题意得10<an<2023,即10<3×2n-1-2<2023,

解得4<2n-1<675,即3<n≤10,

故{an}落入区间(10,2023)的项为a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,

所以其和S=a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=3×(23+24+…+29)-2×7=3×-14=3034.

18.(1)证明当n=1时,S1-2S1=1-4,故S1=3,

得S1-1+2=4.

当n≥2时,原式转化为Sn=2(Sn-Sn-1)+n-4,

即Sn=2Sn-1-n+4,

所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2],

所以{Sn-n+2}是首项为4,公比为2的等比数列.

(2)解由(1)知,Sn-n+2=2n+1,

所以Sn=2n+1+n-2,

于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n=-2n=.