高中4 数列在日常经济生活中的应用习题

第一章§4　数列在日常经济生活中的应用

A级 必备知识基础练

1.[2023湖北鄂州高中校联考期中]某人从2023年起,每年1月1日到银行新存入2万元(一年定期),若年利率为2%保持不变,且每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数约为(　　)(单位:万元)

参考数据:1.029≈1.195,1.0210≈1.219,1.0211≈1.243.

A.2.438 B.19.9 C.22.3 D.24.3

2.[2023江西吉安三中阶段练习]某公司有10名股东,其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半,则下列选项错误的是(　　)

A.公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于总股份的

B.公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的

C.公司持股最大的股东所持股份不超过总股份的

D.公司持股较多的2位股东所持股份之和可以超过总股份的

3.某市利用省运会的契机,鼓励全民健身,从2021年7月起向全市投放A,B两种型号的健身器材.已知7月投放A型健身器材300台、B型健身器材64台,计划8月起,A型健身器材每月的投放量均为a台,B型健身器材每月的投放量比上一月多50%,若12月底该市A,B两种健身器材投放总量不少于2 000台,则a的最小值为(　　)

A.243 B.172 

C.122 D.74

4.某病毒研究所为了更好地研究某种病毒,计划改建十个实验室,每个实验室的改建费用分为装修费和设备费,每个实验室的装修费都一样,设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列,已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元,第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元,并要求每个实验室改建费用不能超过1 100万元,则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多为(　　)

A.2 806万元 B.2 906万元

C.3 106万元 D.3 206万元

5.[2023四川成都七中阶段练习]有关数据显示,2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测,如果不采取措施,快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知,如果不采取有效措施,快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨的年份是(　　)(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)

A.2019 B.2020 C.2021 D.2022

6.某运动员一脚把球踢到32米高处,从此处开始计算,假设足球每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下,则第5次着地时,该球所经过的总路程为　　　　米. 

7.有纯酒精a(a>1)升,从中取出1升,再用水加满,然后再取出1升,再用水加满,如此反复进行,则第九次和第十次共取出纯酒精　　　　　　　　升. 

8.某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集 25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线?

B级 关键能力提升练

9.据有关文献记载:我国古代一座9层塔挂了126盏灯,且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多d(d为常数)盏,底层的灯数是顶层的13倍,则塔的顶层共有灯(　　)

A.2盏 B.3盏 

C.4盏 D.5盏

10.[2023湖北十堰高二阶段练习]从2015年起到2018年,某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄,若年利率为p且保持不变,并约定每年到期,存款的本息均自动转为新的一年的定期,到2019年5月1日将所有存款及利息全部取出,则可取出钱(单位:元)的总数为(　　)

A.a(1+q)4 B.a(1+q)5

C.[(1+p)4-(1+p)] D.[(1+p)5-(1+p)]

11.[2023四川校联考模拟预测]“勾股树”,也被称为毕达哥拉斯树,是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示,以正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形,再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形,如此继续,若共得到127个正方形,且AB=8,则这127个正方形的周长之和为(　　)

A.480+224 B.224+224

C.60+28 D.56+28

12.我们知道,当偿还银行贷款时,“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式,其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘利率.自主创业的大学生小华向银行贷款的本金为48万元,小华跟银行约定,按照等额本金还款法,每个月还一次款,20年还清,贷款月利率为0.4%,设小华第n个月的还款金额为an元,则an=(　　)

A.2 192 B.3 912-8n

C.3 920-8n D.3 928-8n

13.如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆……如此下去,前n个内切圆的面积和为　　　　　. 

14.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.两匹马在第　　　　日相逢. 

15.某企业2018年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从2019年起每年比上一年纯利润减少20万元,2019年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(2019年为第一年)的利润为5001+万元(n为正整数).

(1)设从2019年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An,Bn的表达式.

(2)依上述预测,从2019年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?

C级 学科素养创新练

16.某牧场今年年初牛的存栏数为1 200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且每年年底卖出100头牛,设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a1,a2,a3,….

参考数据:1.088≈1.850 9,1.089≈1.999 0,1.0810≈2.158 9.

(1)写出一个公式,表示an+1与an之间的关系;

(2)将(1)中的关系表示成an+1-k=r(an-k)的形式,其中k,r为常数;

(3)求S9=a1+a2+a3+…+a9的值(结果精确到整数).

17.容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液,容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液,先将A内的盐水倒1升进入B内,再将B内的盐水倒1升进入 A内,称为一次操作;这样反复操作n次,A,B容器内的盐水的质量分数分别为an,bn.

(1)求a1,b1,并证明{an-bn}是等比数列.

(2)至少操作多少次,A,B两容器内的盐水浓度之差小于1%?(取lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)

(3)求an,bn的表达式.

参考答案

§4　数列在日常经济生活中的应用

1.C　由题意,2023年存的2万元共存了10年,本息和为2(1+0.02)10万元,

2024年存的2万元共存了9年,本息和为2(1+0.02)9万元,

……

2032年存的2万元共存了1年,本息和为2(1+0.02)万元,

所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回,

他可取回的钱数约为2(1+0.02)10+2(1+0.02)9+…+2(1+0.02)=2×≈22.3(万元),

故选C.

2.D　不妨设10名股东所持股份为a1≤a2≤…≤a10,总股份为1,

因为6a6≥a1+a2+…+a6≥,a6≥,a6的最小值为,若a6=,此时a1+a2+…+a5≤5a6=,

又因为a1+a2+…+a5≥,此时a1+a2+…+a5=,A正确;

由于a6≥,且a10≥a9≥a8≥a7≥a6,

故公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的,B正确;

因为a9≥a8≥a7≥a6,所以a1+a2+…+a9≥+4×,所以a10≤1-,C正确;

因为a1+a2+…+a6≥,所以a7+a8+a9+a10≤.

又因为a8≥a7≥a6≥,

所以a9+a10≤-a7-a8≤,D错误.

故选D.

3.D　设B型健身器材这6个月投放量构成数列{bn},则数列{bn}是首项b1=64,公比q=的等比数列,其前6项的和S6==1330,∴5a+300+1330≥2000,解得a≥74,故选D.

4.A　设每个实验室的装修费用为x万元,设备费从第一到第十实验室构成的等比数列为{an}(n=1,2,…,10),公比为q,

则

解得

∴a10=a1q9=2×29=210=1024,

根据题意x+1024≤1100,解得x≤76,

∴该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多为10x+a1+a2+…+a10≤760+=2806,

即该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要2806万元.故选A.

5.C　由题意知,2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨,且年平均增长率为50%,则我国快递行业产生的包装垃圾和年份之间符合等比数列,且公比为1+50%=1.5,

2016年我国快递行业产生的包装垃圾约为400×(1+50%)=400×1.5(万吨),

则第n(n∈N+)年我国快递行业产生的包装垃圾约为400×(1+50%)n-2015=400×1.5n-2015万吨,

则有400×1.5n-2015>4000,

即1.5n-2015>10,两边取以10为底的对数得

lg1.5n-2015>lg10=1,即(n-2015)lg>1,

则有n-2015>≈5.679,

故n>2020.679.

∵n∈N+,∴n=2021,故从2021年开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.

故选C.

6.92　足球第1次落地经过的路程为32;

足球第2次落地经过的路程为32+32××2=64;

足球第3次落地经过的路程为64+32×2×2=80;

足球第4次落地经过的路程为80+32×3×2=88;

足球第5次落地经过的路程为88+32×4×2=92.

7.1-82-　由题意可知,取出的纯酒精数量是一个以1为首项,1-为公比的等比数列,

即:第一次取出的纯酒精为1升,

第二次取出的纯酒精为1-升,

第三次取出的纯酒精为1-2升,

……

第n次取出的纯酒精为1-n-1升,

则第九次和第十次共取出的纯酒精数量为

a9+a10=1-8+1-9=1-82-.

8.解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位:小时)依次设为a1,a2,…,a25.

由题意可知,此数列为等差数列,且a1=24,公差d=-.

25辆翻斗车完成的工作时间为a1+a2+…+a25=25×24+25×12×-=500(小时),

而需要完成的工作时间为24×20=480(小时).

∵500>480,∴在24小时内能构筑成第二道防线.

9.A　设顶层有x盏灯,则最下面有(x+8d)盏,则x+8d=13x,即d=x,由题意得x+(x+d)+(x+2d)+…+(x+8d)=126,整理得9x+36d=126,所以9×+36d=126,解得d=3,x=2,所以顶层有2盏灯.故选A.

10.D　2015年5月1日到银行存入a元,则一年后存款及利息是a(1+p),

则到2019年5月1日存款及利息是a(1+p)4,

2016年5月1日到银行存入a元,则一年后存款及利息是a(1+p),

则到2019年5月1日存款及利息是a(1+p)3,

2017年5月1日到银行存入a元,则一年后存款及利息是a(1+p),

则到2019年5月1日存款及利息是a(1+p)2,

2018年5月1日到银行存入a元,则一年后存款及利息是a(1+p),

则到2019年5月1日存款及利息是a(1+p),

到2019年5月1日将所有存款及利息全部取出的总数为

a(1+p)+a(1+p)2+a(1+p)3+a(1+p)4=[(1+p)5-(1+p)].

故选D.

11.A　依题意可知,不同边长的正方形的个数,构成以1为首项,2为公比的等比数列,

故令1+2+22+…+2n-1=127,即=127,解得n=7,

即有7种边长不同的正方形,

又因为正方形的边长构成以8为首项,为公比的等比数列,

故边长为8的正方形有1个,边长为4的正方形有2个,

边长为4的正方形有4个,边长为2的正方形有8个,

边长为2的正方形有16个,边长为的正方形有32个,

边长为1的正方形有64个,

这127个正方形的周长之和为1×4×8+2×4×4+4×4×4+8×4×2+16×4×2+32×4×+64×4×1=480+224.

故选A.

12.D　由题意可知,每月还本金2000元,

设张华第n个月的还款金额为an元,

则an=2000+[480000-(n-1)×2000]×0.4%=3928-8n.故选D.

13.π　根据题意知第一个内切圆的半径为×3=,面积为π,第二个内切圆的半径为,面积为π……这些内切圆的面积组成一个首项为π,公比为的等比数列,故前n个内切圆的面积之和为π.

14.4　由题意,可知良马第n日行程记为an,则数列{an}是首项为97,公差为15的等差数列,

驽马第n日行程记为bn,则数列{bn}是首项为92,公差为-1的等差数列,则an=97+15(n-1)=15n+82,bn=92-(n-1)=93-n.

∵数列{an}的前n项和为,

数列{bn}的前n项和为,

∴=840,

整理得14n2+364n-1680=0,即n2+26n-120=0,解得n=4(n=-30舍去),即两匹马在第4日相逢.

15.解(1)依题设,

An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2,

Bn=5001++1++…+1+-600=500n--100.

(2)Bn-An=500n--100-(490n-10n2)=10n2+10n--100=10n(n+1)--10,

因为数列n(n+1)--10为递增数列,

当1≤n≤3时,n(n+1)--10≤12--10=-<0;

当n≥4时,n(n+1)--10≥20--10=>0,

所以当n≥4时,Bn>An,

所以至少经过4年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.

16.解(1)因为某牧场今年年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且每年年底卖出100头牛,所以a1=1200,且an+1=1.08an-100.

(2)将an+1-k=r(an-k)化成an+1=ran-rk+k,

因为an+1=1.08an-100,

所以比较上面两式的系数,可得

解得

所以(1)中的关系可以化为an+1-1250=1.08(an-1250).

(3)由(2)可知,数列{an-1250}是以-50为首项,1.08为公比的等比数列,

则(a1-1250)+(a2-1250)+…+(a9-1250)=≈-624.4.

所以S9=a1+a2+a3+…+a9=1250×9-624.4=10625.6≈10626.

17.解(1)由题意,b1=×+4×=,

a1=+5×=.

因为bn+1=,an+1=(5an+bn+1)=,

所以an+1-bn+1=(an-bn).

因为a1-b1=≠0,

所以{an-bn}是等比数列.

(2)由(1)知an-bn=×n-1,

所以×n-1<1%,

所以n-1>≈5.7,

所以n≥7,故至少操作7次.

(3)因为bn+1=bn+×n-1+4bn,

所以bn+1-bn=×n,

所以bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=×+…+n-1=-×n+,

所以an=bn+×n-1=×n+.