高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 数学归纳法课后测评

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 数学归纳法课后测评，共9页。试卷主要包含了用数学归纳法证明，用数学归纳法证明+…+等内容，欢迎下载使用。
第一章　*§5　数学归纳法A级 必备知识基础练1.[2023黑龙江哈尔滨哈九中高二校考期中]用数学归纳法证明不等式+…+(n≥2)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边(　　)A.增加了B.增加了C.增加了,但减少了D.增加了,但减少了2.[2023北京八中校考期中]在用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N+)的过程中,从“k到k+1”左边需增乘的代数式为              (　　)A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2)C. D.2(2k+1)3.已知数列{an}满足an+1an-2n2(an+1-an)+1=0,且a1=1,其前n项和为Sn,则S15=(　　)A.196 B.225 C.256 D.2894.用数学归纳法证明:1++…+时,由n=k到n=k+1时,等式左边需要添加的项是(　　)A. B.C. D.5.用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于　　　　. 6.用数学归纳法证明+…+.假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　　　　　　　　　　　　　. 7.已知数列{an}满足Sn+an=n.(1)写出a1,a2,a3,并猜想数列{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明数列{an}的通项公式.       B级 关键能力提升练8.(多选题)在数学上,斐波那契数列{an}可以用递推的方法来定义a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N+),则              (　　)A.a1+a3+a5+…+a2 021=a2 022B.a1+a2+a3+…+a2 020=a2 022C.+…+=a2 021a2 022D.+…+9.用数学归纳法证明不等式+…+(n∈N+,n≥2)时,可将其转化为证明(　　)A.+…+(n∈N+,n≥2)B.+…+(n∈N+,n≥2)C.+…+(n∈N+,n≥2)D.+…+(n∈N+,n≥2)10.对于不等式<n+2(n∈N+),某同学用数学归纳法证明的过程如下:①当n=1时,<1+2,不等式成立;②假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即<k+2,则当n=k+1时,=(k+1)+2.故当n=k+1时,不等式成立.则下列说法错误的是(　　)A.过程全部正确B.n=1的验证不正确C.n=k的归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确11.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总有f(k+1)≥k+2成立.下列命题总成立的是(　　)A.若f(6)<7成立,则f(5)<6成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立12.在用数学归纳法证明“f(n)=+…+<1(n∈N+,n≥3)”的过程中,假设当n=k(k∈N+,k≥3)时,不等式f(k)<1成立,当证明n=k+1,f(k+1)<1也成立时,若f(k+1)=f(k)+g(k),则g(k)=　　　　　　　　　　. 13.试比较2n+2与n2的大小(n∈N+),并用数学归纳法证明你的结论.        14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且-(an+2)Sn+1=0.(1)求S1,S2,S3,并猜想Sn(n∈N+);(2)用数学归纳法证明你的猜想.        C级 学科素养创新练15.汉诺塔问题源于一种古老的益智游戏.这个游戏的目的是将图1中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子,移动到③号塔座上,在移动的过程中要求:每次只可以移动一个盘子,并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.(1)试写出a1,a2,a3,a4的值,并猜想出an.(2)著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图2的形状,此时小石子的数目分别为1,4,9,16,由于小石子围成的图形类似正方形,于是称bn=n2这样的数为正方形数.当n≥2时,试比较an与bn的大小,并用数学归纳法加以证明.           
参考答案*§5　数学归纳法1.C　当n=k时,+…+,当n=k+1时,+…+,故增加了,但减少了.故选C.2.D　当n=k时,左边A=(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)…2k,当n=k+1时,左边B=(k+2)(k+3)…(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(2k+2),则=2(2k+1).故选D.3.B　因为a1=1,故a2-2×(a2-1)+1=0,故a2=3,同理a3=5,猜想an=2n-1,下面用数学归纳法证明an=2n-1.当n=1时,a1=2×1-1=1,设当n=k时,ak=2k-1,则当n=k+1时,有(2k-1)ak+1-2k2(ak+1-2k+1)+1=0,故ak+1=2k+1=2(k+1)-1,故由数学归纳法可得an=2n-1.S15==225.4.D　当n=k时,假设成立的等式为1++…+,当n=k+1时,要证明的等式为1++…+,故左边需要添加的项为.故选D.5.6　由题意,当n=1时,21<(1+1)2;当n=2时,22<(2+1)2;当n=3时,23<(3+1)2;当n=4时,24<(4+1)2;当n=5时,25<(5+1)2;当n=6时,26>(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于6.6.+…+　观察不等式中各项的分母变化,知当n=k+1时,应推证的不等式是+…+.7.(1)解当n=1时,S1+a1=2a1=1,解得a1=,当n=2时,S2+a2=2a2+a1=2,解得a2=,当n=3时,S3+a3=a1+a2+2a3=3,解得a3=,故猜想an=1-.(2)证明①当n=1时,a1=成立,②假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即ak=1-成立,那么,当n=k+1时,Sk+1+ak+1=k+1,即Sk+2ak+1=k-ak+2ak+1=k+1,∵ak=1-,∴2ak+1=2-,∴ak+1=1-,即当n=k+1时等式也成立,根据①和②,可知猜想an=1-对于任意正整数n都成立.8.ACD　对于A,由an+2=an+1+an,可得an+1=an+2-an,则a3=a4-a2,a5=a6-a4,a7=a8-a6,…,a2021=a2022-a2020,将上式累加得a3+a5+a7+…+a2021=a2022-a2,又因为a1=a2=1,则有a1+a3+…+a2021=a2022.故A正确;对于B,由an+2=an+1+an,可得a3=a2+a1,a4=a3+a2,…,a2022=a2021+a2020,将上式累加得a2022=a2+(a1+a2+a3+…+a2020),又因为a2=1,则a1+a2+a3+…+a2020=a2022-1,故B错误;对于C,+…+=anan+1成立,用数学归纳法证明如下:①当n=1时,=1=a1·a2,满足规律,②假设当n=k时满足+…+=akak+1成立,当n=k+1时,则+…+=akak+1+=ak+1(ak+ak+1)=ak+1ak+2成立,满足规律,故+…+=anan+1,令n=2021,则有+…+=a2021a2022成立,故C正确;对于D,由an+2=an+1+an可得,所以+…++…+,故D正确.故选ACD.9.B　由于,不能推得不等式+…+成立,故排除选项A,C.可令f(n)=+…+,当n=2时,f(2)=,故排除D.由于+…++…+,只要证+…+,当n=k时,假设+…+成立,当n=k+1时,+…+,即n=k+1时,不等式也成立.综上可得+…+成立.故原不等式成立.10.ABC　当n=k+1时,没有应用当n=k时的假设,即从n=k到n=k+1的推理不正确.故选ABC.11.AD　若f(5)<6不成立,则f(5)≥6,由题意知f(6)≥7,与f(6)<7成立矛盾,所以f(5)<6成立,A正确.B,C显然错误.若f(4)≥5成立,由题意,得当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立,故D正确.所以选AD.12.　∵f(k)=+…+,f(k+1)=+…+,∴f(k+1)-f(k)=.∵f(k+1)=f(k)+g(k),∴g(k)=.13.解当n=1时,21+2=4>n2=1,当n=2时,22+2=6>n2=4,当n=3时,23+2=10>n2=9,当n=4时,24+2=18>n2=16,由此可以猜想,2n+2>n2(n∈N+)成立.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,21+2>12,所以原不等式成立.当n=2时,22+2>22,所以原不等式成立.当n=3时,23+2>32,所以原不等式成立.(2)假设当n=k时(k≥3且k∈N+)时,不等式成立,即2k+2>k2.当n=k+1时,2k+1+2=2×2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.又2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,即2k2-2≥(k+1)2,故2k+1+2>(k+1)2成立.根据(1)和(2),原不等式对于任意n∈N+都成立.14.(1)解∵-(an+2)Sn+1=0,∴当n=1时,-(a1+2)S1+1=0,解得a1=,∴S1=a1=,当n=2时,-(a2+2)S2+1=0,解得a2=,S2=,当n=3时,-(a3+2)S3+1=0,解得a3=,S3=,∴归纳上述结果,可得猜想Sn=.(2)证明下面用数学归纳法证明这个猜想.①当n=1时,S1=成立.②假设当n=k(k≥1)时等式成立,即Sk=,那么,当n=k+1时,-(ak+1+2)Sk+1+1=0,则-Sk+1-+2Sk+1+1=0,∴Sk+1=,这就是说当n=k+1时等式也成立.根据①和②,可知猜想Sn=对于任意正整数n都成立.15.解(1)由题意得,a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,猜想an=2n-1.(2)a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,a5=31,b1=1,b2=4,b3=9,b4=16,b5=25.则当2≤n<5时,an<bn,猜想:当n≥5时,an>bn,即2n-1>n2.下面利用数学归纳法证明:①当n=5时,a5=31,b5=25,a5>b5,结论成立;②假设n=k(k≥5,k∈N+)时结论成立,即2k-1>k2,那么当n=k+1时,ak+1=2k+1-1=2(2k-1)+1>2k2+1=k2+k2+1.而当k≥5时,k(k-2)>0,即k2>2k,∴ak+1=2k+1-1>k2+k2+1>k2+2k+1=(k+1)2=bk+1.∴当n=k+1时,结论成立.由①②可知,当n≥5时,结论成立.综上,当2≤n<5时,an<bn,当n≥5时,an>bn.