新教材2023_2024学年高中数学第二章导数及其应用培优课导数的综合应用分层作业北师大版选择性必修第二册

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第二章培优课　导数的综合应用
A级 必备知识基础练
1.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是(　　)
A.0≤a≤21 B.a=0或a=7
C.a21 D.a=0或a=21
2.已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是(　　)
A.-∞,- B.-,+∞
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
3.已知函数f(x)=sinx-sin x,则当x∈(0,2π)时,函数f(x)一定有(　　)
A.极大值,且极大值为
B.极小值,且极小值为
C.极大值,且极大值为0
D.极小值,且极小值为0
4.[2023广东江门新会陈经纶中学校考期中]已知函数f(x)=aln(x+1)+x2,在区间(2,3)内任取两个实数x1,x2,且x1≠x2,若不等式>1恒成立,则实数a的取值范围为　　　　　. 
5.某厂生产某种商品x件的总成本c(x)=1 200+x3(单位:万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为　　　　件时,总利润最大. 
6.已知函数f(x)=aex-x2-x.
(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,证明:∀x∈(-2,+∞),f(x)>sin x.









7.已知函数f(x)=ex+exln x(其中e是自然对数的底数).
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求证:f(x)≥ex2.











B级 关键能力提升练
8.关于函数f(x)=,x∈(0,+∞)的性质,以下说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的周期是2π
B.函数f(x)在(0,π)内有极值
C.函数f(x)在(0,+∞)内单调递减
D.函数f(x)在(0,+∞)内有最小值
9.已知定义在R上的函数f(x)满足:xf'(x)+f(x)>0,且f(1)=2,则f(ex)>的解集为(　　)
A.(0,+∞) B.(ln 2,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,1)
10.(多选题)已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,以下几个结论中正确的是(　　)
A.0
C.f(x0)+2x00
11.(多选题)已知函数f(x)=sin x+x3-ax,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是奇函数
B.若f(x)是增函数,则a≤1
C.当a=-3时,函数f(x)恰有两个零点
D.当a=3时,函数f(x)恰有两个极值点
12.[2023黑龙江鸡西第四中学校考期中]函数y=x3+ax+b在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,则a=　　　　　. 
13.已知函数f(x)=x2-2ln x,若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则实数m的取值范围是　　　　　. 
14.已知函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是　　　　　. 
15.[2023陕西宝鸡校考模拟预测]已知f(x)=x++aln x(a∈R).
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当x∈[e,+∞)且-≤a0,f(x)单调递增,此时00,当x>25时,y'sinx,只需证f(x)>1,
令g(x)=f'(x)=ex-x-1,可得g'(x)=ex-1>0,所以g(x)单调递增,
又由g(0)=0,所以g(x)>g(0)=0,所以f(x)单调递增,
所以f(x)>f(0)=1,
当-20,所以f(x)>sinx.
综上可得,对于∀x∈(-2,+∞),都有f(x)>sinx.
7.(1)解因为函数f(x)=ex+exlnx,
所以f'(x)=ex+e(1+lnx),f(1)=e,
所以f'(1)=2e,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.
(2)证明要使f(x)≥ex2,
即证ex+exlnx≥ex2,
即证+lnx-x≥0,
构造函数G(x)=+lnx-x,
则G'(x)=-1=.
令H(x)=ex-1-x,则H'(x)=ex-1-1,
当x>1时,H'(x)>0,H(x)单调递增;
当00在R上恒成立知,f(x)是增函数,故不可能有两个零点,故C错误.
对于选项D,当a=3时f(x)=sinx+x3-3x,f'(x)=cosx+3x2-3,令cosx+3x2-3=0,则有cosx=3-3x2.
在同一平面直角坐标系中作出y=cosx,y=3-3x2的图象易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.
故函数f(x)恰有两个极值点.故D正确.
故选ABD.

12.-3　因为y=x3+ax+b在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,
所以x=1为函数y=x3+ax+b的极值点,且y'=3x2+a,
所以,y'|x=1=3+a=0,解得a=-3,且当a=-3时,y'=3x2-3,
由y'0)在点(a1,)(a1=16)处(即点(16,256)处)的切线方程为y-256=32(x-16).
令y=0,得a2=8.
同理函数y=x2(x>0)在点(a2,)(a2=8)处(即点(8,64)处)的切线方程为y-64=16(x-8).
令y=0,得a3=4,依次同理求得a4=2,a5=1.
所以a1+a3+a5=21.
15.(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=1时,f(x)=x++lnx,f'(x)=1-,所以f(1)=3,f'(1)=0.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3.
(2)证明 当a0,得-0),
令t=1+,则t>1,h(x)=g(t)=lnt-,
只需证当t>1时,g(t)≤0.
∵g'(t)=-