新教材2023_2024学年高中数学第二章导数及其应用综合测评A北师大版选择性必修第二册

综合测评A

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.数列{an}的通项公式为an=2n+1,则第9项a9= (　　)

A.9 B.13 C.17 D.19

2.已知数列{an}是首项为3,公差为d(d∈N+)的等差数列,若2 019是该数列中的项,则公差d不可能是              (　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

3.[2023安徽宿州泰和中学校联考期中]在数列{an}中,a1=1,+1,则an=(　　)

A.n B.n2 

C.n+2 D.

4.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则(　　)

A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点

B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点

C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点

D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点

5.[2023河南驻马店统考二模]设等比数列{an}的前n项积为Sn,若S3=1,S9=512,则a11=(　　)

A.2 B.4 

C.8 D.16

6.[2023全国新高考卷Ⅰ,4]设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-2] B.[-2,0) 

C.(0,2] D.[2,+∞)

7.[2023黑龙江哈尔滨第一二二中学校考期中]设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.b<a<c B.c<a<b

C.a<b<c D.a<c<b

8.已知函数f(x)=x3+ax2+(b-4)x(a>0,b>0)在x=1处取得极值,则的最小值是(　　)

A. B.2 C. D.1+

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,且,则a5的值可能是(　　)

A.2 B.4 C. D.

10.下列函数存在极值点的是(　　)

A.y=x- B.y=2|x| 

C.y=-2x3-x D.y=xln x

11.若数列{an}满足:对任意正整数n,{an+1-an}为递减数列,则称数列{an}为“差递减数列”.则下列数列是“差递减数列”的有(　　)

A.an=3n B.an=n2+1

C.an= D.an=ln

12.下列四个说法正确的是(　　)

A.当x>0且x≠1时,有ln x+≥2

B.函数f(x)=lg(ax+1)的定义域是xx>-

C.函数f(x)=e-xx2在x=2处取得极大值

D.圆x2+y2-10x+4y-5=0上任意一点M关于直线ax-y-5a-2=0的对称点M'也在该圆上

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则f(2)的值为　　　　. 

14.函数f(x)=x-cos x在区间[0,π]上的最大值为　　　　　. 

15.已知等比数列{an}的各项都为正数,且a3,a5,a4成等差数列,则的值是　　　　　. 

16.在数列{an}中,an=nsin+cos,前n项和为Sn,则a4=　　　　　,S100=　　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)[2023广东佛山华南师大附中南海实验高中校考模拟预测]已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈N+.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求证:+…+.

18.(12分)[2023全国乙,文18]记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.

19.(12分)已知函数f(x)=ex-2x.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程;

(2)求函数f(x)在[0,2]上的最大值与最小值.

20.(12分)已知函数f(x)=x-1-mex+1,m∈R.

(1)若直线y=-3为曲线y=f(x)的一条切线,求实数m的值;

(2)讨论函数f(x)的零点的个数.

21.(12分)在数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=.记Tn为等比数列{bn}的前n项和,且b2+b4=20,T4=30.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.

(2)记+…+=Hn,是否存在m,n∈N+,使得Hn=am?若存在,求出所有满足题意的m,n;若不存在,请说明理由.

22.(12分)已知函数f(x)=ln x-2ax,a∈R.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若关于x的不等式f(x)+ex≥e-2a在[1,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.

参考答案

综合测评A

1.D　由数列{an}的通项公式,得a9=2×9+1=19,故选D.

2.D　an=3+(n-1)d,令2019=3+(n-1)d,则n=+1,∵n∈N*,d∈N*,∴d是2016的约数,故d不可能是5,故选D.

3.B　由+1得=1,令bn=,则bn+1-bn=1,所以数列{bn}是以b1==1为首项,1为公差的等差数列,所以bn=1+(n-1)×1=n,即=n,所以an=n2.故选B.

4.A　由图可知,x2是函数f(x)的极大值点,x3是极小值点,x1,x4不是极值点.

5.C　因为S3=1,S9=512,所以a1a2a3==1,a1a2a3…a9==512,解得a2=1,a5=2,则q3==2,故a11=a2q9=23=8.故选C.

6.D　(方法一　导数法)由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2,

由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,

所以a≥2.故选D.

(方法二　复合函数法)因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数f(x)=2x(x-a)在(0,1)内单调递减,只需函数h(x)=x(x-a)=在(0,1)内单调递减,所以≥1,即a≥2.故选D.

7.C　令f(x)=,则a==f,

b==f(6),c==f(4),

由f(x)=可得f'(x)=且x>0,

由f'(x)<0可得x>e,所以f(x)=在(e,+∞)内单调递减.

因为>6>4,所以f<f(6)<f(4),

所以a<b<c,故选C.

8.D　∵f(x)=x3+ax2+(b-4)x.∴f'(x)=x2+2ax+b-4,∵f(x)在x=1处取得极值,∴1+2a+b-4=0,即2a+b=3,则×(2a+b)=×3+≥×(3+2)=1+,当且仅当时,等号成立.故的最小值为1+.

9.ABD　∵a3>0,a7>0,∴≥2,当且仅当3a3=2a7时,等号成立.

又a5>0,∴上式可化为a5≥2,当且仅当3a3=2a7时,等号成立.故选ABD.

10.BD　对于A,求导得y'=1+>0,函数在(-∞,0)和(0,+∞)内单调递增,所以函数无极值点;对于B,x=0是函数的极小值点;对于C,求导得y'=-6x2-1<0恒成立,函数在R上单调递减,所以函数无极值点;对于D,求导得y'=1+lnx,当x∈0,时,y'<0,当x∈,+∞时,y'>0,当x=时,y'=0,所以x=是函数的极小值点.

11.CD　对于A,∵an+1-an=3(n+1)-3n=3,

∴数列{an}不为“差递减数列”;

对于B,∵an+1-an=(n+1)2+1-n2-1=2n+1,

∴{an}不为“差递减数列”;

对于C,∵an+1-an=,

∴数列{an}为“差递减数列”;

对于D,an+1-an=ln-ln=ln1+为“差递减数列”.故选CD.

12.CD　当0<x<1时,lnx<0,则lnx+<0,故A错误;要使f(x)=lg(ax+1)有意义,当a=0时,f(x)=0的定义域为R,当a≠0时,则ax+1>0,分a>0和a<0两种情况,求得x>-或x<-,故B错误;f(x)=e-xx2,则f'(x)=xe-x(2-x),令f'(x)=0,解得x=0或x=2,所以当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当0<x<2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x>2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故函数f(x)=e-xx2在x=2处取得极大值,故C正确;要证明圆上任一点M关于直线对称点M'也在圆上,即要证直线过圆心,x2+y2-10x+4y-5=0可化为(x-5)2+(y+2)2=34,圆心为(5,-2),代入直线方程得5a+2-5a-2=0,圆心在直线上,故D正确.故选CD.

13.18　f'(x)=3x2+2ax+b,由题意得解得经验证a=4,b=-11符合题意,此时f(x)=x3+4x2-11x+16,则f(2)=18.

14.π+　f(x)=x-cosx,则f'(x)=1+sinx.

∵x∈[0,π],∴1+sinx>0,∴函数f(x)在[0,π]上单调递增,∴f(x)的最大值为f(π)=π+.

15.　设{an}的公比为q,则q>0.

由a3,a5,a4成等差数列,

可得a5=a3+a4,即a1q4=a1q2+a1q3,

即q2-q-1=0,解得q=(负数舍去).

则=q=.

16.4　0　易知a1=1,a2=-2,a3=-3,a4=4,

∴a1+a2+a3+a4=0.

又sin+cos的周期为4,

∴a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=0,∴S100=0.

17.(1)解(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,

则(n-2)Sn+1+2(Sn+1-Sn)=nSn,

整理得到nSn+1=(n+2)Sn,

故,故是常数列,

故=1,即Sn=n(n+1),

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-n(n-1)=2n,

验证当n=1时满足,故an=2n.

(2)证明,

故+…++…+=.

18.解(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意,得解得

所以an=a1+(n-1)d=15-2n.

(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn==14n-n2,

由(1)可知,an=15-2n,令an≥0,解得n≤,

所以该数列的前7项是正数,从第8项起为负数,

当n≤7时,Tn=Sn=14n-n2,当n≥8时,Tn=-Sn+2S7=n2-14n+98.

综上所述,Tn=

19.解(1)函数f(x)=ex-2x的导数为f'(x)=ex-2,

可得y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为1-2=-1,

则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为x+y-1=0.

(2)令f'(x)=ex-2=0,得x=ln2,

则当0<x<ln2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;

当ln2<x<2时,f'(x)>0,f(x)单调递增.

因此x=ln2为f(x)的极小值点,也是最小值点,

又f(0)=1,f(2)=e2-4,f(ln2)=2-2ln2,

所以f(x)在[0,2]上的最小值为2-2ln2,最大值为e2-4.

20.解(1)f'(x)=1-mex+1,

设切点坐标为(a,-3),则

∴a=-1,∴f'(-1)=1-me0=0,即m=1.

(2)由f(x)=x-1-mex+1=0得m=,

设g(x)=,

则g'(x)=,

令g'(x)>0,得x<2,此时g(x)单调递增,

令g'(x)<0,得x>2,此时g(x)单调递减,

即当x=2时,g(x)取得极大值g(2)=,

当x→-∞时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,

当x>1时,g(x)>0,当x<1时,g(x)<0,

画出g(x)的大致图象如图,

即当m≤0或m=时,f(x)有1个零点;

当0<m<时,f(x)有2个零点;当m>时,f(x)没有零点.

21.解(1)当n=1时,a1=S1=1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1==n,对n=1也成立,则数列{an}的通项公式为an=n.

设等比数列{bn}的公比为q,由b2+b4=20,T4=30,

可得q≠1,则b1+b3=10,q==2,

又b1q+b1q3=20,解得b1=2,所以bn=2n.

(2)存在.由(1)得,=n·n,

则Hn=1×+2×+3×+…+nn,

Hn=1×+2×+3×+…+nn+1,

两式相减可得Hn=+…+n-nn+1=-n·n+1,

可得Hn=2-(n+2)·n<2.假设存在m,n∈N*,使得Hn=am,可得2-(n+2)·n=m,

则m=1,解得n=2.故当m=1,n=2时,Hn=am.

22.解(1)依题意,f(x)定义域为(0,+∞),f'(x)=-2a=,当a≤0时,1-2ax>0,f'(x)>0,

函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;

当a>0时,令f'(x)==0,解得x=,函数f(x)在0,内单调递增,在,+∞内单调递减.

(2)由题意得,当x≥1时,lnx+ex-2ax+2a-e≥0恒成立.

令h(x)=lnx+ex-2ax+2a-e,则h'(x)=+ex-2a,

令φ(x)=+ex-2a,则φ'(x)=ex-,

因为x≥1,所以ex≥e,≤1,所以φ'(x)>0,

所以φ(x)在[1,+∞)内单调递增,即h'(x)在[1,+∞)内单调递增,所以h'(x)≥h'(1)=1+e-2a.

①当a≤时,h'(x)≥0,此时,h(x)在[1,+∞)内单调递增,而h(1)=0,所以h(x)≥0恒成立,满足题意;

②当a>时,h'(1)=1+e-2a<0,而h'(ln2a)=+2a-2a>0,根据函数零点存在定理可知,存在x0∈(1,ln2a),使得h'(x0)=0.

当x∈(1,x0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;

当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.

所以有h(x0)<h(1)=0,这与h(x)≥0矛盾,舍去.

综上所述,实数a的取值范围为-∞,.