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新教材2023_2024学年高中数学第二章导数及其应用综合训练北师大版选择性必修第二册
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这是一份新教材2023_2024学年高中数学第二章导数及其应用综合训练北师大版选择性必修第二册，共14页。
第二章综合训练
一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若f(x)=ln x,则=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2.[2023广东佛山荣山中学校考期中]函数y=(ax+1)ex在x=0处的瞬时变化率为-1,则a=( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
3.奇函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=处有极值,则ac+2b的值为( )
A.3 B.-3 C.0 D.1
4.[2023吉林长春东北师大附中校考期中]在下列函数中,在(0,+∞)内单调递增的是( )
A.y=sin x-x B.y=x-ln x
C.y=ex-x D.y=x+
5.曲线f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )
A.1 B.2 C. D.3
6.[2023河北统考模拟预测]已知函数f(x)=若y=f(x)-kx恰有两个零点,则k的取值范围为( )
A. B.
C. D.∪(1,+∞)
7.设函数f(x)=x-ln x(x>0),则f(x)( )
A.在区间,1,(1,e)内均有零点
B.在区间,1,(1,e)内均无零点
C.在区间,1内无零点,在区间(1,e)内有零点
D.在区间,1内有零点,在区间(1,e)内无零点
8.f(x)是定义在非零实数集上的函数,f'(x)为其导函数,且当x>0时,xf'(x)-f(x)0的函数f(x)= .
16.定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”.
(1)设f(x)=sin x,则f(x)在(0,π)内的“新驻点”为 .
(2)如果函数g(x)=ln(x+1)与h(x)=x+ex的“新驻点”分别为α,β,那么α和β的大小关系是 .
四、解答题:本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.[2023山东泰安高二统考期中]已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+2在x=2处有极值,其图象经过点(2,-6),且f'(0)=-4.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在x=-1处的切线方程.
18.[2023北京东城北京二中校考期中]已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)a=1时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)证明:不等式ex-2-ax>f(x)恒成立.
19.[2023甘肃金昌统考模拟预测]已知函数f(x)=ln x-(a∈R).
(1)若a=-2,求函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若x1,x2是函数f(x)的两个极值点,求a的取值范围,并证明:f(x1)+f(x2)=2f(1).
20.为迎接某网购狂欢节,某厂商拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销.经调查测算,该促销产品在狂欢节的销售量P(单位:万件)与促销费用x(单位:万元)满足P=3-(其中0≤x≤a,a为正常数).已知生产该批产品P万件还需投入成本(10+2P)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为4+元/件,假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.
(1)将该产品的利润y(单位:万元)表示为促销费用x(单位:万元)的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
21.已知函数f(x)=(m∈R).
(1)若m=2,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在(4,6)内单调递增,求m的取值范围.
22.设函数f(x)=x2-a(ln x+1)(a>0).
(1)当a=2时,求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)有2个零点,求实数a的取值范围.
参考答案
第二章综合训练
1.B 由f(x)=lnx,得f'(x)=,则f'(1)=1,
所以=2=2f'(1)=2.故选B.
2.D 因为y=(ax+1)ex,则y'=(ax+a+1)ex,
因为函数y=(ax+1)ex在x=0处的瞬时变化率为-1,则y'|x=0=a+1=-1,解得a=-2.故选D.
3.B ∵函数f(x)=ax3+bx2+cx为奇函数,
∴b=0,则f'(x)=3ax2+c,
由题意得f'=0,即+c=0,
则ac=-3,所以ac+2b=-3.
4.C 对于A,y=sinx-x,则y'=cosx-1≤0,则y=sinx-x在定义域R上单调递减,故A错误;
对于B,y=x-lnx,则y'=1-,所以当x>1时,y'>0,当00时,y'>0,所以函数在(0,+∞)内单调递增,故C正确;
对于D,y=x+,则y'=1-,当x>1时,y'>0,当00时,g(x)=1-,g'(x)=,
令g'(x)=0,解得x=e.
故当x>e时,g'(x)>0,此时g(x)单调递增,当00),
令f'(x)>0,得x>3;
令f'(x)0时,xf'(x)-f(x)0,则r>0,解得r0,不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;
y=x2的导数为y'=2x,存在x1=1,x2=-,使得f'(x1)f'(x2)=-1.
综上,具有性质T的函数为AD.
13.(-2,15) 令y'=3x2-10=2,得x=±2,
又点P在第二象限内,
∴x=-2,得点P的坐标为(-2,15).
14.(1,) 因为当x∈(-1,1)时,f'(x)=5+cosx>0,
所以f(x)在(-1,1)内单调递增.
又因为f(x)是奇函数,由f(1-t)+f(1-t2)f(x)恒成立,即证ex-2>lnx恒成立,令a=1,f(x)=lnx-x,
由(2)可知,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以f(x)≤f(1)=-1恒成立,
即有当x>0时,x-1≥lnx恒成立,当且仅当x=1时等号成立,亦有ex-1≥lnex即ex≥x+1恒成立,当且仅当ex=0,即x=1时等号成立.
所以ex-2≥x-2+1=x-1,当且仅当x-2=0,即x=2时等号成立,
又因为x-1≥lnx恒成立,当且仅当x=1时等号成立,
所以ex-2>lnx(等号不同时成立)恒成立,原不等式得证.
19.解(1)当a=-2时,f(x)=lnx+,f'(x)=,
所以f(1)=1,f'(1)=,
所以函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.
(2)因为f(x)=lnx-,
所以f'(x)=(x>0),
由题意知x1,x2是方程f'(x)=0在(0,+∞)内的两个不同的实数根,
令h(x)=x2+(2+a)x+1,
又因为h(0)=1>0,且函数h(x)图象的对称轴为直线x=-,
所以只需
解得a0,
所以函数y=16-x-在(0,1)内单调递增;
x∈(1,a)时,y'1时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大;
当a≤1时,促销费用投入a万元,厂家的利润最大.
21.解(1)f(x)的定义域为R,
由f(x)=得f'(x)=,
当m=2时,f'(x)=-,
由f'(x)=0,解得x=-1,
当x0,
所以f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.
①令f=0,解得a=,
当a=时,f(x)=x2-(lnx+1)的最小值为f=0,
即f(x)=x2-(lnx+1)有唯一的零点x=;
②当0时,f(x)的最小值f=-ln+10,
所以函数f(x)在内有唯一的零点,
又因为当a>时,a>,f(a)=a2-a(lna+1)=a(a-lna-1),
令g(x)=x-lnx-1,则g'(x)=1-=0,解得x=1,
可知g(x)在内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,
所以g(x)≥g(1)=0,所以f(a)≥0,
所以函数f(x)在内有唯一的零点,
所以当a>时,f(x)有2个不同的零点.
综上所述,实数a的取值范围是.
