高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 必要条件与充分条件习题ppt课件

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重难探究·能力素养全提升
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探究点一　充要条件的证明
【例1】 已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明 (必要性)∵a+b=1,∴a+b-1=0.∴a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.(充分性)∵a3+b3+ab-a2-b2=0,∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.又ab≠0,∴a≠0,且0b≠0. ∴a+b-1=0,即a+b=1.综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
规律方法　充要条件的证明(1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.(2)证明p是q的充要条件,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(3)证明p的充要条件是q,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.
变式训练1求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明 (必要性)∵关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.(充分性)∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.因此,方程有一个根为x=1.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
探究点二　根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
【例2】 已知p:-4解析 设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).因为q是p的充分条件,则有A⊆B,即所以-1≤a≤6.故选B.
变式探究例2中,是否存在实数a,使p是q成立的必要不充分条件?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解 存在.设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).若p是q的必要不充分条件,则A⫋B.需故存在这样的实数a,a的取值范围为[-1,6].
规律方法　根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下:(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系:
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.
探究点三　由传递性判断命题间的关系
【例3】 已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)r是q的什么条件?(3)p是q的什么条件?
解 (1)∵q是s的充分条件,∴q⇒s.∵q是r的必要条件,∴r⇒q.∵s是r的充分条件,∴s⇒r.∴s⇒r⇒q⇒s.即s是q的充要条件.(2)由r⇒q,q⇒s⇒r,知r是q的充要条件.(3)∵p是r的必要条件,∴r⇒p,∴q⇒r⇒p.∴p是q的必要不充分条件.
规律方法　解决传递性问题的关键是画出推出的结构图,也可以考虑命题之间的关系.
变式训练2如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么(　　)A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
解析 如图所示,∵甲是乙的必要条件,∴乙⇒甲.∵丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,∴丙⇒乙,但乙不能推出丙.综上,有丙⇒乙⇒甲,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
1.知识清单:(1)充要条件概念的理解;(2)充要条件的证明;(3)根据条件求参数范围.2.方法归纳:等价转化法、特例法.3.常见误区:条件和结论辨别不清.
1.在四边形ABCD中,“四边形ABCD为平行四边形”是“AB与CD平行且相等”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件
解析 四边形ABCD为平行四边形等价于AB与CD平行且相等.故选C.
2.(多选题)在下列各选项中,p是q的充要条件的是(　　)A.p:A⊆B,q:A∩B=AB.p:a=b,q:|a|=|b|C.p:|x|+|y|=0,q:x=y=0D.p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数
解析A,C中,p都是q的充要条件;B中,p是q的充分不必要条件;D中,p是q的充分不必要条件.
3.已知集合A={x|x2+x-6≤0},B={x|3-m≤x≤m+5},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数m的取值范围为　　　　　. 
解析 由题得A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以实数m的取值范围为[6,+∞).
4.“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”是否可以作为直角三角形的定义?为什么?
解 可以作为直角三角形的定义.因为“有两个角之和为90°的三角形”⇔“有一个内角为90°的三角形”⇔“直角三角形”,即“有两个角之和为90°的三角形”是“直角三角形”的充要条件,故“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”可以作为直角三角形的定义.