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北师大版 (2019)必修 第一册2.1 函数概念课堂教学课件ppt
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这是一份北师大版 (2019)必修 第一册2.1 函数概念课堂教学课件ppt，共49页。PPT课件主要包含了目录索引，唯一确定，探究点五同一个函数，本节要点归纳，ACD等内容，欢迎下载使用。
基础落实·必备知识全过关
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知识点1 函数1.变量观点的定义如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
2.集合语言的定义 建立对应关系f的基础
注意“{f(x)|x∈A}⊆B”
名师点睛1.A,B都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在.2.函数定义中强调“三性”,任意性、存在性、唯一性.即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在集合B中都有(存在性)唯一(唯一性)确定的元素y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.3.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,不能认为“y等于f与x的乘积”,应理解为:x是自变量,f是对应关系(可以是解析式、图象、表格,也可以是文字描述).4.函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关,也可以用g,F,H等表示;同样,自变量x也可以用t,m,n等表示.
过关自诊1.[人教A版教材习题]一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为h=130t-5t2.求该式所表示的函数的定义域与值域,并用函数的定义描述这个函数.
解 定义域为A={t|0≤t≤26},值域为B={h|0≤h≤845}.对应关系h=130t-5t2把集合A中的任意一个数t,对应到集合B中唯一确定的数130t-5t2.
2.[人教A版教材习题]集合A,B与对应关系f如下图所示:
f:A→B是否为从集合A到集合B的函数?如果是,那么定义域、值域与对应关系各是什么?
解 f:A→B是从集合A到集合B的函数,定义域为A={1,2,3,4,5},值域为B={2,3,4,5},对应关系f略(答案不唯一).A
知识点2 同一个函数由函数定义知,由于函数的值域由函数的定义域和对应关系来确定,这样确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应关系.因此,定义域和对应关系为“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
名师点睛自变量和因变量用什么字母表示与函数无关,不影响两个函数的关系.两个函数的关系是通过检验两个函数的定义域和对应关系是否相同来确定的.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数,这就是说:(1)定义域不同,两个函数也就不同;(2)对应关系不同,两个函数也是不同的.
过关自诊1.[人教A版教材例题]下列函数中哪个与函数y=x(x∈R)是同一个函数?
解 (1)y=( )2=x(x∈{x|x≥0}),它与函数y=x(x∈R)虽然对应关系相同,但是定义域不相同,所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.
(2)u= =v(v∈R),它与函数y=x(x∈R)不仅对应关系相同,而且定义域也相同,所以这个函数与函数y=x(x∈R)是同一个函数.
(3) 它与函数y=x(x∈R)的定义域都是实数集R,但是当x<0时,它的对应关系与函数y=x(x∈R)不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.
(4)m= =n(n∈{n|n≠0}),它与函数y=x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.
2.[人教A版教材习题]判断下列各组中的函数是否为同一个函数,并说明理由:(1)表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h=130t-5t2和二次函数y=130x-5x2;(2)f(x)=1和g(x)=x0.
解 (1)不是同一个函数.因为前者的定义域为[0,26],而后者的定义域为R.(2)不是同一个函数.因为前者的定义域为R,而后者的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
探究点一 函数关系的判断
【例1】 (1)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A.0个 B.1个C.2个D.3个
解析 ①错误,当x=2时,在N中无元素与之对应,不满足任意性.②正确.③错误,当x=2时,对应元素y=3∉N,不满足存在性.④错误,当x=1时,在N中有两个元素与之对应,不满足唯一性.
(2)已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={x|0≤x≤4},则下列对应关系中,不能看作是从A到B的函数关系的是( )
解析 根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,集合B中没有元素与它对应,故不正确.
规律方法 1.根据图形判断对应是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l;(2)在定义域内平行移动直线l;(3)若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.2.判断一个对应是否为函数的方法
变式训练1(1)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
解析 A中的定义域不是[-2,2],C中图形不满足唯一性,D中的值域不是[0,2].故选B.
(2)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},其中能构成从M到N的函数的是( )A.y=x2B.y=x+1C.y=x-1D.y=|x|
解析 只有y=|x|是符合题意的对应关系.故选D.
探究点二 求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域:
解 (1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x<0,且x≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].
规律方法 求函数的定义域时,常有以下四种情况:
探究点三 求抽象函数、复合函数的定义域
【例3】 (1)若函数f(x)的定义域为(-1,2),则函数f(2x+1)的定义域为 .
(-1, )
(2)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2),则函数f(x)的定义域为 .
解析 由-1
解析由(2)知f(x)的定义域为(-1,5),由-1
变式训练3已知函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数 的定义域为 .
探究点四 函数的求值问题
【例4】 已知函数f(x)=x2+x-1.(1)求f(2),f( ),f(a+1);(2)若f(x)=5,求x.
解 (1)f(2)=22+2-1=5.f(a+1)=(a+1)2+(a+1)-1=a2+3a+1.(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,解得x=2,或x=-3.
规律方法 函数求值问题的解法(1)已知函数的解析式求函数值,将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时,将代数式作为一个整体代入化简求解.(2)已知函数解析式及某一函数值,求与函数值对应的自变量的值(或解析式中的参数值),只需将函数值代入解析式,建立关于自变量(或参数)的方程求解即可,注意函数的定义域对自变量取值的限制.
(1)求f(2)和g(2);(2)求g(f(2)),求f(g(x));
【例5】 试判断以下各组函数是否表示同一个函数:(1)y=x0与y=1(x≠0);(2)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z).
解 (1)因为y=x0要求x≠0,且当x≠0时,y=x0=1,故y=x0与y=1(x≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一个函数.(2)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z),两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一个函数.
规律方法 判断两个函数是否表示同一个函数的两个步骤
变式训练5下列各组函数:
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).其中表示同一个函数的是 .(填序号)
解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;②f(x)与g(x)的对应关系不同,不是同一个函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的对应关系不同,不是同一个函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系都相同,是同一个函数.
探究点六 求函数的值域
【例6】 求下列函数的值域:(1)y= -1;(2)y=x2-2x+3,x∈{-2,-1,0,1,2,3};
(2)∵x∈{-2,-1,0,1,2,3},把x=-2,-1,0,1,2,3代入y=x2-2x+3中,得y=11,6,3,2,3,6,∴y=x2-2x+3的值域为{2,3,6,11}.
规律方法 求函数值域的常用方法(1)观察法:通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数的值域.(2)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间的二次函数最值的求法.(3)换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为简单的函数,再结合基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
变式训练6 求下列函数的值域:
(2)y=x2-4x+6(1≤x≤5);
(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2,其中1≤x≤5,由函数图象(图略)可知y∈[2,11].
1.知识清单:(1)函数的定义;(2)求函数的定义域、同一个函数的判断、求函数值、求函数的值域.2.方法归纳:数形结合法、数学抽象.3.常见误区:化简函数的对应关系时要注意定义域的变化.
1.函数 的定义域是( )A.(-∞,+∞) B.(-∞,-1]C.(-1,0) D.[-1,0)∪(0,+∞)
2.(多选题)下列四组中的f(x)与g(x)不是同一个函数的是( )
解析 对于选项A,C,函数的定义域不同;对于选项D,两个函数的对应关系不同.
3.(1)函数y=2x+1,x∈(-1,1]的值域是 . (2)函数y=x2+x+2,x∈R的值域是 .
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知识点1 函数1.变量观点的定义如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
2.集合语言的定义 建立对应关系f的基础
注意“{f(x)|x∈A}⊆B”
名师点睛1.A,B都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在.2.函数定义中强调“三性”,任意性、存在性、唯一性.即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在集合B中都有(存在性)唯一(唯一性)确定的元素y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.3.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,不能认为“y等于f与x的乘积”,应理解为:x是自变量,f是对应关系(可以是解析式、图象、表格,也可以是文字描述).4.函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关,也可以用g,F,H等表示;同样,自变量x也可以用t,m,n等表示.
过关自诊1.[人教A版教材习题]一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为h=130t-5t2.求该式所表示的函数的定义域与值域,并用函数的定义描述这个函数.
解 定义域为A={t|0≤t≤26},值域为B={h|0≤h≤845}.对应关系h=130t-5t2把集合A中的任意一个数t,对应到集合B中唯一确定的数130t-5t2.
2.[人教A版教材习题]集合A,B与对应关系f如下图所示:
f:A→B是否为从集合A到集合B的函数?如果是,那么定义域、值域与对应关系各是什么?
解 f:A→B是从集合A到集合B的函数,定义域为A={1,2,3,4,5},值域为B={2,3,4,5},对应关系f略(答案不唯一).A
知识点2 同一个函数由函数定义知,由于函数的值域由函数的定义域和对应关系来确定,这样确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应关系.因此,定义域和对应关系为“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
名师点睛自变量和因变量用什么字母表示与函数无关,不影响两个函数的关系.两个函数的关系是通过检验两个函数的定义域和对应关系是否相同来确定的.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数,这就是说:(1)定义域不同,两个函数也就不同;(2)对应关系不同,两个函数也是不同的.
过关自诊1.[人教A版教材例题]下列函数中哪个与函数y=x(x∈R)是同一个函数?
解 (1)y=( )2=x(x∈{x|x≥0}),它与函数y=x(x∈R)虽然对应关系相同,但是定义域不相同,所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.
(2)u= =v(v∈R),它与函数y=x(x∈R)不仅对应关系相同,而且定义域也相同,所以这个函数与函数y=x(x∈R)是同一个函数.
(3) 它与函数y=x(x∈R)的定义域都是实数集R,但是当x<0时,它的对应关系与函数y=x(x∈R)不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.
(4)m= =n(n∈{n|n≠0}),它与函数y=x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.
2.[人教A版教材习题]判断下列各组中的函数是否为同一个函数,并说明理由:(1)表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h=130t-5t2和二次函数y=130x-5x2;(2)f(x)=1和g(x)=x0.
解 (1)不是同一个函数.因为前者的定义域为[0,26],而后者的定义域为R.(2)不是同一个函数.因为前者的定义域为R,而后者的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
探究点一 函数关系的判断
【例1】 (1)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A.0个 B.1个C.2个D.3个
解析 ①错误,当x=2时,在N中无元素与之对应,不满足任意性.②正确.③错误,当x=2时,对应元素y=3∉N,不满足存在性.④错误,当x=1时,在N中有两个元素与之对应,不满足唯一性.
(2)已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={x|0≤x≤4},则下列对应关系中,不能看作是从A到B的函数关系的是( )
解析 根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,集合B中没有元素与它对应,故不正确.
规律方法 1.根据图形判断对应是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l;(2)在定义域内平行移动直线l;(3)若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.2.判断一个对应是否为函数的方法
变式训练1(1)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
解析 A中的定义域不是[-2,2],C中图形不满足唯一性,D中的值域不是[0,2].故选B.
(2)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},其中能构成从M到N的函数的是( )A.y=x2B.y=x+1C.y=x-1D.y=|x|
解析 只有y=|x|是符合题意的对应关系.故选D.
探究点二 求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域:
解 (1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x<0,且x≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].
规律方法 求函数的定义域时,常有以下四种情况:
探究点三 求抽象函数、复合函数的定义域
【例3】 (1)若函数f(x)的定义域为(-1,2),则函数f(2x+1)的定义域为 .
(-1, )
(2)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2),则函数f(x)的定义域为 .
解析 由-1
解析由(2)知f(x)的定义域为(-1,5),由-1
变式训练3已知函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数 的定义域为 .
探究点四 函数的求值问题
【例4】 已知函数f(x)=x2+x-1.(1)求f(2),f( ),f(a+1);(2)若f(x)=5,求x.
解 (1)f(2)=22+2-1=5.f(a+1)=(a+1)2+(a+1)-1=a2+3a+1.(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,解得x=2,或x=-3.
规律方法 函数求值问题的解法(1)已知函数的解析式求函数值,将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时,将代数式作为一个整体代入化简求解.(2)已知函数解析式及某一函数值,求与函数值对应的自变量的值(或解析式中的参数值),只需将函数值代入解析式,建立关于自变量(或参数)的方程求解即可,注意函数的定义域对自变量取值的限制.
(1)求f(2)和g(2);(2)求g(f(2)),求f(g(x));
【例5】 试判断以下各组函数是否表示同一个函数:(1)y=x0与y=1(x≠0);(2)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z).
解 (1)因为y=x0要求x≠0,且当x≠0时,y=x0=1,故y=x0与y=1(x≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一个函数.(2)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z),两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一个函数.
规律方法 判断两个函数是否表示同一个函数的两个步骤
变式训练5下列各组函数:
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).其中表示同一个函数的是 .(填序号)
解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;②f(x)与g(x)的对应关系不同,不是同一个函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的对应关系不同,不是同一个函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系都相同,是同一个函数.
探究点六 求函数的值域
【例6】 求下列函数的值域:(1)y= -1;(2)y=x2-2x+3,x∈{-2,-1,0,1,2,3};
(2)∵x∈{-2,-1,0,1,2,3},把x=-2,-1,0,1,2,3代入y=x2-2x+3中,得y=11,6,3,2,3,6,∴y=x2-2x+3的值域为{2,3,6,11}.
规律方法 求函数值域的常用方法(1)观察法:通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数的值域.(2)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间的二次函数最值的求法.(3)换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为简单的函数,再结合基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
变式训练6 求下列函数的值域:
(2)y=x2-4x+6(1≤x≤5);
(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2,其中1≤x≤5,由函数图象(图略)可知y∈[2,11].
1.知识清单:(1)函数的定义;(2)求函数的定义域、同一个函数的判断、求函数值、求函数的值域.2.方法归纳:数形结合法、数学抽象.3.常见误区:化简函数的对应关系时要注意定义域的变化.
1.函数 的定义域是( )A.(-∞,+∞) B.(-∞,-1]C.(-1,0) D.[-1,0)∪(0,+∞)
2.(多选题)下列四组中的f(x)与g(x)不是同一个函数的是( )
解析 对于选项A,C,函数的定义域不同;对于选项D,两个函数的对应关系不同.
3.(1)函数y=2x+1,x∈(-1,1]的值域是 . (2)函数y=x2+x+2,x∈R的值域是 .
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