新教材2023_2024学年高中数学第2章函数3函数的单调性和最值第2课时函数的最值课件北师大版必修第一册

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第二章§3　第2课时　函数的最值基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引 成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点　函数的最值1.定义注意M是一确定的实数x0也可理解为方程f(x)=M的根2.函数的最大值和最小值统称为最值. f(x)≤M　 f(x)≥M 最高　 最低 名师点睛函数的最值和值域的联系与区别(1)联系:函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整个定义域.(2)区别:①函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;②若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素.过关自诊1.[人教A版教材习题]设函数f(x)的定义域为[-6,11].如果f(x)在区间[-6,-2]上单调递减,在区间[-2,11]上单调递增,画出f(x)的一个大致的图象,从图象上可以发现f(-2)是函数f(x)的一个　　　　　. 最小值 解析 f(x)在[-6,11]上的大致图象如图所示. 2.[人教A版教材例题]已知函数 (x∈[2,6]),求函数的最大值和最小值.重难探究·能力素养全提升探究点一　求函数的最值角度1利用函数的图象求最值【例1】 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2]. 规律方法　图象法求最值的基本步骤 (1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.解 (1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.角度2利用函数的单调性求最值【例2】 已知函数f(x)=x+ .(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.解 (1)任取x1,x2∈[1,2],且x10,1f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+ =4;f(x)的最大值为f(1),f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.变式探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.规律方法　函数的最值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),在区间(b,c]上单调递减(或单调递增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.角度3利用数形结合思想与分类讨论思想求一元二次函数的最值【例3】 求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.解 y=(x-a)2-1-a2.当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图①.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.当12时,函数在区间[0,2]上单调递减,如图④.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当12时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.规律方法　1.探求一元二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的图象,再根据函数的单调性进行研究.特别要注意一元二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解一元二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.一元二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.2.对于一元二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:变式训练2函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.解 由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为直线x=1.下面分三种情况讨论:当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上单调递减,∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.当 即0400时,f(x)=60 000-100x单调递减,f(x)<60 000-100×400<25 000.∴当x=300时,f(x)max=25 000.即产量为300台时利润最大,最大利润为25 000元.探究点三　利用函数的最值解决恒成立问题【例5】 已知x2-x+a>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.规律方法　对于任意x∈D,f(x)>a恒成立,一般转化为最值问题:f(x)min>a来解决.对于任意x∈D,f(x)