高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性图片课件ppt

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知识点1　奇、偶函数的定义
注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性. 奇偶性是函数的整体性质
名师点睛1.判断函数的奇偶性要“二看”(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意x∈A,-x∈A,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数,也不是偶函数.(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:①f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数;②f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数;③f(-x)≠±f(x)⇔f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;④f(-x)=±f(x)⇔f(x)既是奇函数,也是偶函数.
2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:
注意:上述表格中不考虑f(x)±g(x)=0.f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.
过关自诊1.[人教A版教材习题]已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整.
解 补充后图象如图所示.
2.[人教A版教材习题]判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=2x4+3x2;(2)f(x)=x3-2x.
解 (1)函数f(x)=2x4+3x2的定义域为R,因为对定义域内的每一个x,都有f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x),所以f(x)=2x4+3x2为偶函数.(2)函数f(x)=x3-2x的定义域为R.因为对定义域内的每一个x,都有f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x),所以f(x)=x3-2x为奇函数.
3.[人教A版教材习题](1)从偶函数的定义出发,证明函数y=f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;(2)从奇函数的定义出发,证明函数y=f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.
证明 (1)充分性:若y=f(x)的图象关于y轴对称,设M(x0,f(x0))为图象上任意一点,则M关于y轴的对称点M'(-x0,f(x0))仍在该图象上,即f(-x0)=f(x0).所以y=f(x)为偶函数.必要性:若y=f(x)为偶函数,设M(x0,f(x0))为f(x)图象上任意一点,M关于y轴的对称点为M'(-x0,f(x0)),因为y=f(x)为偶函数,所以f(x0)=f(-x0).所以M'(-x0,f(-x0))在y=f(x)的图象上,所以y=f(x)的图象关于y轴对称.(2)充分性:若y=f(x)的图象关于原点对称,设M(x0,f(x0))为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点M'(-x0,-f(x0))仍在该图象上,所以f(-x0)=-f(x0),所以y=f(x)为奇函数.必要性:若y=f(x)为奇函数,设M(x0,f(x0))为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点为M'(-x0,-f(x0)).因为y=f(x)为奇函数,所以-f(x0)=f(-x0),所以M'(-x0,f(-x0))在y=f(x)的图象上,所以y=f(x)的图象关于原点对称.
知识点2　函数奇偶性与单调性的关系1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.
名师点睛1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这将研究其单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征.
过关自诊1.函数f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数且在[-6,0]上单调递减,则一定有(　　)A.f(3)+f(4)>0B.f(-3)-f(-2)<0C.f(4)-f(-1)>0D.f(-2)+f(-5)<0
解析 ∵f(x)在[-6,6]上为偶函数且在[-6,0]上为减函数,∴f(-4)>f(-1),f(-3)>f(-2),∴f(4)>f(-1),∴f(4)-f(-1)>0,f(-3)-f(-2)>0,故C正确,B错误.又无法确定f(3),f(4),f(-2),f(-5)的正负.故选C.
2.若奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有(　　)
3.[人教A版教材习题]已知函数f(x)是偶函数,而且在(0,+∞)上单调递减,判断f(x)在(-∞,0)上单调递增还是单调递减,并证明你的判断.
解 f(x)在(-∞,0)上单调递增.证明如下:任取x1-x2>0.因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(-x1)探究点一　判断函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数的奇偶性:
(2)f(x)=x3-2x;
解 (1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,且对任意的x∈R,有f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),故f(x)是奇函数.函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(1)=f(-1)=0,∴f(x)既是奇函数,也是偶函数.(4)函数的定义域关于原点对称.当x>0时,-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
规律方法　判断函数奇偶性的两种方法1.定义法:
变式训练判断下列函数的奇偶性:(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;(3)f(x)=0. 
解 (1)f(x)的定义域是R,且对任意的x∈R,有f(-x)= =-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是R,且对任意的x∈R,有f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.(3)因为f(x)的定义域为R,且对任意的x∈R,有f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函数,也是偶函数.
探究点二　利用函数的奇偶性求解析式
【例2】 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.
解 (1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),即f(0)=0.
变式探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解 当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为
规律方法　已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,-x∈(a,b),f(x)=-f(-x)=-φ(-x);若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,-x∈(a,b),f(x)=f(-x)=φ(-x).提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
探究点三　函数奇偶性与单调性的综合应用
角度1比较函数值的大小【例3】 已知偶函数f(x)的定义域为R,f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(　　)A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)解析 ∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,∴f(2)变式探究(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个函数值的大小.
解 (1)因为当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递减,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以函数在R上是增函数,因为-3<-2<π,所以f(-3)规律方法　应用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.
角度2解函数不等式【例4】 已知定义在区间[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)解 因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在区间[-2,2]上单调递减.
变式探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解 因为函数为区间[-2,2]上的偶函数,又函数在[-2,0]上单调递减,所以函数在[0,2]上单调递增,不等式可化为f(|1-m|)规律方法　解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先将f(a)+f(b)<0变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号“f”,使不等式得解.
1.知识清单:(1)函数奇偶性的概念;(2)函数奇偶性与单调性的关系.2.方法归纳:特殊值法、数形结合法.3.常见误区:忽略函数的定义域的对称性,只有定义域关于原点对称,才可能具有奇偶性.
1.(多选题)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是(　　)A.y=x2(x>0)B.y=|x+1|C.y=D.y=3x-1
2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=(　　)A.-1B.-3C.1D.3
解析 当x≤0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-3,故选B.
3.函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,有f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则(　　)