北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性教案配套ppt课件

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知识点1　幂函数的定义一般地,形如　　　　　(α为常数)的函数,即　　　　是自变量、　　　　是常数的函数称为幂函数. 名师点睛1.幂值前面的系数是1,否则不是幂函数,如函数 就不是幂函数.2.幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=8x2都是幂函数.(　　)(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.(　　)2.在函数①y= ,②y=3x2,③y=x2+2x中,是幂函数的为　　　　　.(填序号) 
解析 函数y= =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α为常数)的形式,所以它不是幂函数.
知识点2　幂函数的图象和性质1.常见的五种幂函数的图象 任一幂函数在第一象限内必有图象,在第四象限内必无图象
既不是奇函数,也不是偶函数
名师点睛幂函数y=xα的上述性质可归纳如下:(1)当α>0时,图象都经过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数单调递增.(2)当α<0时,图象都经过点(1,1);在第一象限内,函数单调递减,图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.
过关自诊1.[人教A版教材习题]已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, ),求这个函数的解析式.
2.[人教A版教材习题]根据单调性和奇偶性的定义,讨论函数f(x)=x3的单调性,并判断其奇偶性.
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)3.[人教A版教材习题]已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, ),试求出此函数的解析式,并画出图象,判断奇偶性、单调性.
函数f(x)= 的图象如图所示,f(x)既不是奇函数也不是偶函数,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
探究点一　幂函数的概念
【例1】 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.
解 根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3,或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
规律方法　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练1如果幂函数 的图象不过原点,求实数m的取值.
解 由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1,或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.
探究点二　幂函数的图象
【例2】 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为(　　)A.c解析 由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0规律方法　对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:(1)恒过点(1,1).(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或 ,y=x3)来判断.(4)当α>0时,幂函数在区间(0,+∞)上都单调递增;当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上都单调递减.
变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(　　)A.nm>0D.m>n>0
解析 画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n探究点三　利用幂函数的单调性比较大小
【例3】 比较下列各组中两个数的大小:
规律方法　1.比较幂的大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须转化为同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
探究点四　幂函数图象的应用
【例4】 已知点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象上,问当x满足什么条件时,有(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);(3)当-1变式训练3 已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求实数m的取值范围.
解 根据幂函数y=x1.3的图象,知当01时,y>1,∴1.30.7>1.于是有0.71.3<对于幂函数y=xm,由(0.71.3)m<(1.30.7)m知,当x>0时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m>0.故实数m的取值范围为(0,+∞).
1.知识清单:(1)幂函数的定义;(2)几个常见幂函数的图象;(3)幂函数的性质.2.方法归纳:待定系数法、数形结合法.3.常见误区:对幂函数形式的判断易出错,只有形如y=xα(α为常数)的函数为幂函数,其他形式都不是幂函数.
2.幂函数y=x2,y=x-1, 在第一象限内的图象依次是下图中的曲线(　　)A.C2,C1,C3,C4B.C4,C1,C3,C2C.C3,C2,C1,C4D.C1,C4,C2,C3
解析 幂函数图象在第一象限内直线x=1右侧的“高低”关系是“指大图高”,故幂函数y=x2在第一象限内的图象为C1,y=x-1在第一象限内的图象为C4,y= 在第一象限内的图象为C2,y= 在第一象限内的图象为C3.
3.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在区间(0,+∞)上单调递减,且对定义域中的任意x,有f(-x)=f(x),则m等于(　　)A.0B.1C.2D.3
解析 幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,则3m-5<0,即m<又m∈N,故m=0或m=1.∵f(-x)=f(x),∴y=f(x)是偶函数.当m=0时,f(x)=x-5是奇函数,不符合题意;当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意.故m=1.
4.幂函数y=f(x)经过点(2,4),则f(x)是(　　)A.偶函数,且在(0,+∞)上单调递增B.偶函数,且在(0,+∞)上单调递减C.奇函数,且在(0,+∞)上单调递减D.奇函数,且在(0,+∞)上单调递增
解析 设f(x)=xα,因为幂函数y=f(x)经过点(2,4),代入可得4=2α,所以α=2,则f(x)=x2.定义域为R,且f(-x)=x2=f(x),所以f(x)为偶函数,由二次函数性质可知f(x)在(0,+∞)上单调递增.故选A.
5.函数y=x-3在区间[2,4]上的最小值是　　　　　. 
解析 因为函数y=x-3在(0,+∞)上单调递减,所以当x=4时,y取得最小值4-3=