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北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念图文课件ppt
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这是一份北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念图文课件ppt，共45页。PPT课件主要包含了目录索引，本节要点归纳等内容，欢迎下载使用。
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
知识点1 指数函数的概念 分“a>1”和“00,且a≠1)的函数才叫指数函数,如
过关自诊1.[人教A版教材习题]下列图象中,有可能表示指数函数的是( )
解析 因为y=ax>0(a>0且a≠1),所以A,B,D都不正确.故选C.
2.[人教A版教材习题]已知函数y=f(x),x∈R,且f(0)=3, =2,n∈N*,求函数y=f(x)的一个解析式.
3.[人教A版教材习题]在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长,那么经过30天,该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍?(可以使用计算工具)
解 设该湖泊现有蓝藻为k,经过x天后蓝藻变为f(x).根据题意,f(x)是以k为初始量,增长率为0.062 5,即增长比例为1.062 5的指数函数,则f(x)=k1.062 5x(x≥0),所以f(0)=k,f(30)=k1.062 530.利用计算工具可得 =1.062 530≈6.16.所以,经过30天,该湖泊的蓝藻大约会变为原来的6倍.
知识点2 指数函数的图象和性质1.指数函数的图象和性质
2.函数y=ax和y=bx函数值的大小关系
3.一般地,指数函数y=ax和y=( )x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称,且它们在R上的单调性相反.
注意区分函数本身图象关于y轴对称,与两个函数的图象关于y轴对称的不同
名师点睛1.指数函数的图象,既不关于原点对称,也不关于y轴对称,所以指数函数既不是奇函数,也不是偶函数.2.指数函数的图象永远在x轴的上方.当x>0时,底数越大,图象越高,简称“底大图高”.
过关自诊1.[人教A版教材习题]在同一直角坐标系中画出函数y=3x和y=( )x的图象,并说明它们的关系.
2.[人教A版教材习题]比较下列各题中两个值的大小:(1) ;(2)0.3-3.5,0.3-2.3;(3)1.20.5,
(2)函数y=0.3x在R上为减函数.因为-3.5<-2.3,所以0.3-3.5>0.3-2.3.(3)因为1.20.5>1.20=1,0.51.2<0.50=1,所以1.20.5>
3.[人教A版教材习题]体内癌细胞初期增加得很缓慢,但到了晚期就急剧增加,画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.
解 设体内癌细胞的初始数量为k,时间为t,体内癌细胞数量为y,癌细胞的增殖速度是用倍增时间计算的,体内癌细胞数量y是时间t的指数型函数y=k·at(k,a为常数,且k>0,a>1),其增殖速度可以用“爆炸”来形容,如图.
探究点一 指数函数的概念
【例1】 (1)若指数函数f(x)满足f(2)-f(1)=6,则f(3)= .
解析 设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),则a2-a=6,得a=-2(舍去)或a=3,于是f(3)=33=27.
(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.
规律方法 1.判断一个函数是不是指数函数的方法(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,且a≠1,x∈R)这一结构形式.(2)明特征:指数函数的解析式具备的三个特征,只要有一个特征不具备,则不是指数函数.2.已知某个函数是指数函数,求参数值的步骤(1)列:依据指数函数解析式所具备的三个特征,列出方程(组)或不等式(组).(2)解:解所列的方程(组)或不等式(组),求出参数的值或范围.
变式训练1下列函数一定是指数函数的是 .(填序号) ①y=5x;②y=4x-1;③y=-3x;④ ;⑤y=(5x)x;⑥ ;⑦y=(a+3)x.
解析 ①y=5x符合指数函数的定义,是指数函数;②y=4x-1中,指数是x-1而非x,不是指数函数;③y=-3x中,系数是-1而非1,不是指数函数;④ 中,底数是自变量x,不是指数函数;⑤y=(5x)x中,底数和指数均是自变量x,不是指数函数;⑥ ,符合指数函数的定义,是指数函数;⑦y=(a+3)x中,底数a+3不一定满足“大于0,且不等于1”的条件,不一定是指数函数.
探究点二 指数函数的图象及应用
角度1指数型函数图象过定点问题【例2】 已知函数f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是 .
解析 ∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象恒过点(-1,4).
变式探究本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4,其他条件不变,求点P的坐标.
规律方法 指数型函数图象过定点问题的解法因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
角度2画指数型函数的图象【例3】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.
解 (1)如图①,y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.(2)如图①,y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.(3)如图①,y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.(4)函数y=2|x|为偶函数,图象关于y轴对称,且其在x≥0上的图象与y=2x的图象一致,可得y=2|x|的图象如图②所示.
规律方法 变换作图法及注意点(1)平移变换及对称变换:
(2)翻折变换:①将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,替代原x轴下方部分,并保留y=f(x)的图象在x轴上及其上方部分即可得到函数y=|f(x)|的图象.②将函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分沿y轴翻折到y轴左侧,替代原y轴左侧部分,并保留y=f(x)的图象在y轴上及其右侧的部分即可得到函数y=f(|x|)的图象.(3)利用变换作图法作图要注意以下两点:①选择哪个指数函数作为起始函数;②要注意平移的方向及距离.
变式训练2函数 的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?
∴原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是[0,+∞).
角度3指数函数图象的识别【例4】 如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )A.a
变式训练3若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则必有( )A.00B.01,b<0D.a>1,b>0
解析 如图,若函数y=ax-(b+1)的图象过第一、三、四象限,则a>1,且b+1>1,从而a>1,且b>0.故选D.
探究点三 利用指数函数单调性比较幂值大小
【例5】 比较下列各题中两个值的大小:(1)2.53,2.55.7;(3)2.3-0.28,0.67-3.1.
解 (1)(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数都是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.又3<5.7,∴2.53<
(3)(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.
变式探究比较下面两个数的大小:(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解 ∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0(a-1)2.4.综上,当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1(a-1)2.4.
规律方法 比较幂的大小的常用方法
1.知识清单:(1)指数函数的概念;(2)指数函数的图象和性质.2.方法归纳:待定系数法、数形结合法、换元法、分类讨论法.3.常见误区:易忽视底数a的限制条件;易忽视对于a是否大于1进行讨论.
1.下列函数图象中,有可能表示指数函数的是( )
解析 A为一次函数图象;B为反比例函数图象;D为二次函数图象;选项C的图象可能是指数函数模型.
2.若函数f(x)=(m-2)·mx是指数函数,则f(-2)=( )
3.设a=0.20.2,b=0.20.3,c=0.30.2,d=0.30.3,则a,b,c,d的大小关系是( )A.c>a>d>bB.c>d>a>bC.c>a>b>dD.d>c>b>a
解析 由指数函数的单调性知a=0.20.2>b=0.20.3,c=0.30.2>d=由幂函数的单调性知b=0.20.3d=综上可得,c>a>d>b.故选A.
4.已知函数f(x)=ax-m+n(a>0,且a≠1,m,n为常数)的图象恒过点(3,2),则m+n=( )A.5B.4C.3D.2
5.函数f(x)=3|x|的图象是( )
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
知识点1 指数函数的概念 分“a>1”和“0
过关自诊1.[人教A版教材习题]下列图象中,有可能表示指数函数的是( )
解析 因为y=ax>0(a>0且a≠1),所以A,B,D都不正确.故选C.
2.[人教A版教材习题]已知函数y=f(x),x∈R,且f(0)=3, =2,n∈N*,求函数y=f(x)的一个解析式.
3.[人教A版教材习题]在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长,那么经过30天,该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍?(可以使用计算工具)
解 设该湖泊现有蓝藻为k,经过x天后蓝藻变为f(x).根据题意,f(x)是以k为初始量,增长率为0.062 5,即增长比例为1.062 5的指数函数,则f(x)=k1.062 5x(x≥0),所以f(0)=k,f(30)=k1.062 530.利用计算工具可得 =1.062 530≈6.16.所以,经过30天,该湖泊的蓝藻大约会变为原来的6倍.
知识点2 指数函数的图象和性质1.指数函数的图象和性质
2.函数y=ax和y=bx函数值的大小关系
3.一般地,指数函数y=ax和y=( )x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称,且它们在R上的单调性相反.
注意区分函数本身图象关于y轴对称,与两个函数的图象关于y轴对称的不同
名师点睛1.指数函数的图象,既不关于原点对称,也不关于y轴对称,所以指数函数既不是奇函数,也不是偶函数.2.指数函数的图象永远在x轴的上方.当x>0时,底数越大,图象越高,简称“底大图高”.
过关自诊1.[人教A版教材习题]在同一直角坐标系中画出函数y=3x和y=( )x的图象,并说明它们的关系.
2.[人教A版教材习题]比较下列各题中两个值的大小:(1) ;(2)0.3-3.5,0.3-2.3;(3)1.20.5,
(2)函数y=0.3x在R上为减函数.因为-3.5<-2.3,所以0.3-3.5>0.3-2.3.(3)因为1.20.5>1.20=1,0.51.2<0.50=1,所以1.20.5>
3.[人教A版教材习题]体内癌细胞初期增加得很缓慢,但到了晚期就急剧增加,画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.
解 设体内癌细胞的初始数量为k,时间为t,体内癌细胞数量为y,癌细胞的增殖速度是用倍增时间计算的,体内癌细胞数量y是时间t的指数型函数y=k·at(k,a为常数,且k>0,a>1),其增殖速度可以用“爆炸”来形容,如图.
探究点一 指数函数的概念
【例1】 (1)若指数函数f(x)满足f(2)-f(1)=6,则f(3)= .
解析 设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),则a2-a=6,得a=-2(舍去)或a=3,于是f(3)=33=27.
(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.
规律方法 1.判断一个函数是不是指数函数的方法(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,且a≠1,x∈R)这一结构形式.(2)明特征:指数函数的解析式具备的三个特征,只要有一个特征不具备,则不是指数函数.2.已知某个函数是指数函数,求参数值的步骤(1)列:依据指数函数解析式所具备的三个特征,列出方程(组)或不等式(组).(2)解:解所列的方程(组)或不等式(组),求出参数的值或范围.
变式训练1下列函数一定是指数函数的是 .(填序号) ①y=5x;②y=4x-1;③y=-3x;④ ;⑤y=(5x)x;⑥ ;⑦y=(a+3)x.
解析 ①y=5x符合指数函数的定义,是指数函数;②y=4x-1中,指数是x-1而非x,不是指数函数;③y=-3x中,系数是-1而非1,不是指数函数;④ 中,底数是自变量x,不是指数函数;⑤y=(5x)x中,底数和指数均是自变量x,不是指数函数;⑥ ,符合指数函数的定义,是指数函数;⑦y=(a+3)x中,底数a+3不一定满足“大于0,且不等于1”的条件,不一定是指数函数.
探究点二 指数函数的图象及应用
角度1指数型函数图象过定点问题【例2】 已知函数f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是 .
解析 ∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象恒过点(-1,4).
变式探究本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4,其他条件不变,求点P的坐标.
规律方法 指数型函数图象过定点问题的解法因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
角度2画指数型函数的图象【例3】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.
解 (1)如图①,y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.(2)如图①,y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.(3)如图①,y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.(4)函数y=2|x|为偶函数,图象关于y轴对称,且其在x≥0上的图象与y=2x的图象一致,可得y=2|x|的图象如图②所示.
规律方法 变换作图法及注意点(1)平移变换及对称变换:
(2)翻折变换:①将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,替代原x轴下方部分,并保留y=f(x)的图象在x轴上及其上方部分即可得到函数y=|f(x)|的图象.②将函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分沿y轴翻折到y轴左侧,替代原y轴左侧部分,并保留y=f(x)的图象在y轴上及其右侧的部分即可得到函数y=f(|x|)的图象.(3)利用变换作图法作图要注意以下两点:①选择哪个指数函数作为起始函数;②要注意平移的方向及距离.
变式训练2函数 的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?
∴原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是[0,+∞).
角度3指数函数图象的识别【例4】 如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )A.a
变式训练3若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则必有( )A.0
解析 如图,若函数y=ax-(b+1)的图象过第一、三、四象限,则a>1,且b+1>1,从而a>1,且b>0.故选D.
探究点三 利用指数函数单调性比较幂值大小
【例5】 比较下列各题中两个值的大小:(1)2.53,2.55.7;(3)2.3-0.28,0.67-3.1.
解 (1)(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数都是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.又3<5.7,∴2.53<
(3)(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.
变式探究比较下面两个数的大小:(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解 ∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0
规律方法 比较幂的大小的常用方法
1.知识清单:(1)指数函数的概念;(2)指数函数的图象和性质.2.方法归纳:待定系数法、数形结合法、换元法、分类讨论法.3.常见误区:易忽视底数a的限制条件;易忽视对于a是否大于1进行讨论.
1.下列函数图象中,有可能表示指数函数的是( )
解析 A为一次函数图象;B为反比例函数图象;D为二次函数图象;选项C的图象可能是指数函数模型.
2.若函数f(x)=(m-2)·mx是指数函数,则f(-2)=( )
3.设a=0.20.2,b=0.20.3,c=0.30.2,d=0.30.3,则a,b,c,d的大小关系是( )A.c>a>d>bB.c>d>a>bC.c>a>b>dD.d>c>b>a
解析 由指数函数的单调性知a=0.20.2>b=0.20.3,c=0.30.2>d=由幂函数的单调性知b=0.20.3
4.已知函数f(x)=ax-m+n(a>0,且a≠1,m,n为常数)的图象恒过点(3,2),则m+n=( )A.5B.4C.3D.2
5.函数f(x)=3|x|的图象是( )
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