新教材2023_2024学年高中数学第7章概率本章总结提升课件北师大版必修第一册

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第七章本章总结提升网络构建·归纳整合专题突破·素养提升目录索引 网络构建·归纳整合专题突破·素养提升专题一　频率与概率频率是概率的近似值,是随机的,随着试验的不同而变化;概率是多次的试验中频率的稳定值,是一个常数,不能用一次或少数次试验中的频率来估计概率.【例1】 射手甲中靶的概率是0.9,因此我们认为,即使射手甲比较优秀,他射击10发子弹也不可能全中,其中必有一发不中,试判断这种认识正确与否.解 射手甲射击一次,中靶是随机事件,他射击10次可以看作是重复做了10次试验,而每次试验的结果都是随机的,所以10次的结果也是随机的,这10次射击可能一次也不中,也可能中一次、二次、…、甚至十次都中.虽然中靶是随机事件,但却具有一定的规律性,概率为0.9,是说在多次的试验中,中靶的可能性稳定在0.9,实际上,他10发子弹全中的概率为0.910≈0.349,这是有可能发生的.因此题中认识不正确.规律方法　概率与频率的关系随机事件的概率是指在相同的条件下,大量重复进行同一试验,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,我们把这个常数叫作事件A的概率,记作P(A).它反映的是这个事件发生的可能性的大小.一个随机事件的发生既有随机性(对单次试验来说),又有规律性(对大量重复试验来说).其概率一般不好求,但可以用频率来估计.变式训练1对一批U盘进行抽检,结果如下表: (1)计算表中次品的频率(结果精确到0.001).(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2 000个U盘,至少需进货多少个U盘?解 (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.040,0.025,0.017,0.020,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘,为保证其中有2 000个正品U盘,则x(1-0.020)≥2 000,因为x是正整数,所以x≥2 041,即至少需进货2 041个U盘.专题二　互斥事件与对立事件的概率及应用若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).设事件A的对立事件是 ,则P(A)=1-P( ).【例2】 射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表: 求该选手射击一次,(1)命中9环或10环的概率;(2)至少命中8环的概率;(3)命中不足8环的概率.解 记“射击一次,命中k环”为事件Ak(k=7,8,9,10).(1)因为A9与A10互斥,所以P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.(2)记“至少命中8环”为事件B,B=A8+A9+A10,又A8,A9,A10两两互斥,所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.(3)记“命中不足8环”为事件C,则事件C与事件B是对立事件,所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.规律方法　互斥事件与对立事件的概率求法运用互斥事件的概率加法公式时,首先要确定各事件是否彼此互斥,如果彼此互斥,分别求出各事件发生的概率,再求和.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和,运用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)求解;二是先求其对立事件的概率,然后再运用公式P(A)=1-P( )求解.变式训练2某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少?(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少?解 (1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N+),那么事件Ak彼此互斥,设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,根据互斥事件概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.(2)由(1)知事件“打进的电话响4声而不被接”是事件“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件,记为 根据对立事件的概率公式,得P( )=1-P(A)=1-0.95=0.05.专题三　古典概型古典概型是一种最基本的概率模型,也是学习其他概率模型的基础,在高考题中,经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点,即有限性和等可能性.【例3】 已知函数f(x)=ax2+2bx-1.(1)若a,b都是从集合{1,2,3}中任取的一个数,求函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减的概率;(2)若a是从集合{1,2,3}中任取的一个数,b是从集合{1,2,3,4}中任取的一个数,求方程f(x)=0在区间(-∞,-3)上有实数根的概率.解 (1)记“函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减”为事件A.由于a,b都是从集合{1,2,3}中任取的一个数,则基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9种,若函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,则有则事件A包含其中的6个基本事件,(2)记“方程f(x)=0在区间(-∞,-3)上有实数根”为事件B,由于a是从集合{1,2,3}上任取的一个数,b是从集合{1,2,3,4}上任取的一个数,则基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共12种,由题意知a>0,f(0)=-1,所以方程f(x)=0在区间(-∞,-3)上有实数根,则有f(-3)<0,即9a-6b-1<0,则事件B包含其中的5个基本事件,所以所求的概率P(B)=规律方法　古典概型的概率求法在求古典概型问题的概率时,往往需要我们将所有样本点一一列举出来,以便确定样本点总数及事件所包含的样本点数.这就是我们常说的列举法.在列举时应注意按一定的规律、标准,做到不重不漏.变式训练3从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是(　　)D 解析 ∵当b=1时,没有满足条件的a值;当b=2时,a=1;当b=3时,a可以是1,可以是2,∴共3个样本点.而从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a,再从{1,2,3}中随机取一个数b,共有3×5=15个样本点,专题四　相互独立事件的概率设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.如果事件A与B相互独立,那么A与 与B, 也都相互独立.【例4】 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束,设甲每次投篮投中的概率为 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各自投篮互不影响.(1)求甲乙各投球一次,比赛结束的概率;(2)求甲获胜的概率.解 设事件Ak表示“甲在第k次投篮投中”,其中k=1,2,3,设事件Bj表示“乙在第j次投篮投中”,其中j=1,2,3,规律方法　相互独立事件概率的求法(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立),正确区分“互斥事件”与“对立事件”.当且仅当事件A和事件B相互独立时,才有P(AB)=P(A)P(B).(2)某些事件若含有较多的互斥事件,可考虑其对立事件的概率,这样可减少运算量,提高准确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化.(1)求三人中恰有一名同学当选的概率;(2)求三人中至多有两人当选的概率.