山东省聊城市莘州中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

莘州中学初三年级第一次月考数学试题

满分：120；考试时间：120分钟；命题人：杨丽敏

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（每题3分，共12个小题）

1．在中，，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（    ）

A． B． C． D．

3．如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点，若，则（    ）

A． B． C． D．

4．如图，，与相交于点，若，，，则的长是（    ）

A．3 B． C．2 D．

5．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ）

A． B． C．或 D．或

6．两个相似多边形的周长的比是，那么它们的面积的比是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，在中，点在上，过点作，交于点，若，，，则的长为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

8．如图，梯形中，，、交于，若，则为（    ）

A． B． C． D．

9．已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（    ）

A． B． C． D．

10．如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

11．若，则是（    ）

A．直角三角形  B．等边三角形

C．含有的任意三角形 D．顶角为针角的等腰三角形

12．由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为（    ）．

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（每题3分，共5个小题）

13．如图，在中，，，点为中点，点在上，当为________时，与以点、、为顶点的三角形相似．

14．如图，在正方形中，为的中点，当________时，．

15．如图，小明想测量电线杆的高度，发现电线杆的影子恰好落在山坡的坡面和地面上，量得，，与地面成角，且此时测得高的杆的影长为，则电线杆的高度约为________．（结果精确到，，）

16．若一个等腰三角形的两边长分别为和，则底边上的高为________，底角的余弦值为________．

17．如图所示，中，是边上的中线，是边上一点，且，射线交于点，则等于________．

三、解答题（共8个小题，共69分）

18．计算（6分）：（1）

（2）．

19．（6分）如图，在中，是斜边上的高．

求证：．

20．（7分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上、已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高．

21．（10分）如图，在平行四边形中，是边上的任意点（不与重合），连接交于点．

（1）求证：；

（2）若是的中点，且，求的长度．

22．（10分）如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少．

23．（10分）如图，在中，已知，，，求的长．

24．（10分）如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房的楼顶，测量对面的乙栋楼房的高度，已知甲栋楼房与乙栋楼房的水平距离米，小丽在甲栋楼房顶部点，测得乙栋楼房顶部点的仰角是，底部点的俯角是，求乙栋楼房的高度（结果保留根号）．

25．（10分）如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在处望见岛在船的北偏东方向，前进20海里到达处，此时望见岛在船的北偏东方向，以岛为中心的12海里内为军事演习的危险区．请通过计算说明：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能．（参考数据：，）

莘州中学初三年级第一次月考数学答案

1．B    2．A

解：设投影三角尺的对应边长为，

三角尺与投影三角尺相似，

，

解得．

3．A  解：将以点为中心逆时针旋转得到，

，

，

，

4．B  解：

，，

，

5．D    6．A    7．C

8．C  ，，

，，

和是同高三角形，

．

9．D  由图可知，，，

，，

A．选项中三角形是等边三角形，各角的度数都为，不与相似；

B．选项中三角形各角的度数分别是，，，不与相似；

C．选项中三角形各角的度数分别为，，，不与相似；

D．选项中三角形各角的度数分别为，，，与相似；

10．A  解：过作轴于，轴于，则，

点，

，，，

，

11．B  解：，

，，

，，

，，是等边三角形．

12．C  解：如图，取格点，连接，

由勾股定理可知，，，

，

，

．

13．3或  解：当时，

，，

，

当时，

，，

，

综上，或．

14．  在正方形中，为的中点，

，

，．

．

15．8.7  解：作于．则旗杆的高度分三部分进行求解．对应的旗杆的高度：根据同一时刻物高与影长成比例，得；在中，根据所对的直角边是斜边的一半，得．再根据勾股定理，得；

因为，则对应的旗杆高度和相等，对应的旗杆高度同样根据：同一时刻物高与影长成比例，是

故旗杆的高度是．

16．   

解：三角形的两边之和大于第三边，等腰三角形的腰只能是6，底边为2，

作底边的高，利用勾股定理得，

高；底角的余弦值．

17．  如图：过点作交于，

是边上的中线，是的中位线，

，．

，，

，．

18．（1）原式，

．

（2）原式．

19．证明：如图，在中，是斜边上的高

是公共角

．

20．树高是9米

解：，，

，，

，，，，

由勾股定理得，

，，，

答：树高是．

21．（1）证明：四边形为平行四边形，

，，，

；

（2）解：是的中点，，

四边形为平行四边形，

，，即，

，，

，，解得：．

22．

四边形是正方形，是高，

，四边形是矩形，

，

设正方形，

，，

，高，

，解得，

故正方形的边长为．

23．2解：如图，过点作，垂足为点，

设，在中，，在中，，

，，

．

，

．

解得：，即，

在中，，

24．  如图，依题意可得，

是等腰直角三角形，

，

的高度为．

25．不会．

过点作，交延长线于点．由题意可知，在中，，，，．在中，，（海里）．，

这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区．