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    专题24.7 切线长定理、三角形的内切圆【十大题型】-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列(人教版)
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    人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径课后复习题

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    这是一份人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径课后复习题,文件包含专题247切线长定理三角形的内切圆十大题型举一反三人教版原卷版docx、专题247切线长定理三角形的内切圆十大题型举一反三人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共66页, 欢迎下载使用。


    TOC \ "1-3" \h \u
    \l "_Tc30249" 【题型1 利用切线长定理求解】 PAGEREF _Tc30249 \h 1
    \l "_Tc11677" 【题型2 利用切线长定理证明】 PAGEREF _Tc11677 \h 2
    \l "_Tc3754" 【题型3 由三角形的内切圆求长度】 PAGEREF _Tc3754 \h 4
    \l "_Tc7291" 【题型4 由三角形的内切圆求角度】 PAGEREF _Tc7291 \h 5
    \l "_Tc19087" 【题型5 由三角形的内切圆求面积】 PAGEREF _Tc19087 \h 6
    \l "_Tc14954" 【题型6 由三角形的内切圆求最值】 PAGEREF _Tc14954 \h 7
    \l "_Tc14980" 【题型7 直角三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】 PAGEREF _Tc14980 \h 8
    \l "_Tc20836" 【题型8 圆外切四边形的计算】 PAGEREF _Tc20836 \h 9
    \l "_Tc29868" 【题型9 一般三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】 PAGEREF _Tc29868 \h 11
    \l "_Tc2758" 【题型10 三角形内切圆与外接圆的综合运用】 PAGEREF _Tc2758 \h 12
    【知识点1 切线长定理】
    过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
    【题型1 利用切线长定理求解】
    【例1】(2023春·浙江杭州·九年级校联考期中)如图,点P是半径为r的⊙O外一点,PA,PB分别切⊙O于A,B点,若△PAB是边长为a的等边三角形,则( )

    A.a=2rB.a=3rC.a=2rD.a=233r
    【变式1-1】(2023春·江苏南京·九年级统考期末)如图,AB为⊙O的直径,PB,PC分别与⊙O相切于点B,C,过点C作AB的垂线,垂足为E,交⊙O于点D.若CD=PB=23,则BE长为( )
    A.1B.2C.3D.4
    【变式1-2】(2023春·天津河西·九年级统考期末)如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径.
    (1)若∠BAC=25°,求∠P的度数;
    (2)若∠P=60°,PA=2,求⊙O的半径.
    【变式1-3】(2023春·浙江·九年级期中)小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图,如图所示,他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出,已知点B,E,C,F在同一条直线上,且BE=EC=2CF,四边形ABEG和四边形GCFD的面积之差为73,则CF的长是 ;连结AD,若⊙O是△ADG的内切圆,则圆心O到BF的距离是 .
    【题型2 利用切线长定理证明】
    【例2】(2023春·天津河东·九年级天津市第四十五中学校考期末)如图,RtΔABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交AB于E,OD⊥BC交⊙O于D,DE交BC于F,点P为CB延长线上的一点,PE延长交AC于G,PE=PF,下列4个结论:①GE=GC;②AG=GE;③OG∥BE;④∠A=∠P.其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号)
    【变式2-1】(2023春·全国·九年级统考期末)如图,⊙O是梯形ABCD的内切圆,AB∥DC,E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点.
    (1)求证:AB+CD=AD+BC
    (2)求∠AOD的度数.
    【变式2-2】(2023春·江苏南通·九年级校联考期中)如图,AB、CB、CD分别与⊙O切于E,F,G,且AB∥CD.连接OB、OC,延长CO交⊙O于点M,过点M作MN∥OB交CD于N.
    (1)当OB=6cm,OC=8cm时,求⊙O的半径;
    (2)求证:MN=NG.
    【变式2-3】(2023春·广东云浮·九年级统考期末)如图1所示,⊙O为△CDE的外接圆,CD为直径,AD、BC分别与⊙O相切于点D、C(BC>AD).E在线段AB上,连接DE并延长与直线BC相交于点P,B为PC中点.
    (1)证明:AB是⊙O的切线.
    (2)如图2,连接OA,OB,求证:OA⊥OB.
    【知识点2 三角形的内切圆】
    【题型3 由三角形的内切圆求解】
    【例3】(2023春·天津西青·九年级统考期末)如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=12,若⊙O与△ABC的三边分别相切于点D,E,F,且△ABC的周长为32,则DF的长为( )
    A.2B.3C.4D.6
    【变式3-1】(2023春·山东淄博·九年级统考期末)如图,△ABC中,∠C=90°,圆O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.若AB=5,AC=3,则OD= .
    【变式3-2】(2023春·天津河西·九年级校考期末)如图,⊙I是直角△ABC的内切圆,切点为D、E、F,若AF=10,BE=3,则△ABC的面积为 .
    【变式3-3】(2023春·甘肃金昌·九年级校考期末)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,⊙O是的内切圆,它与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F.求⊙O的半径.
    【题型4 由三角形的内心的有关应用】
    【例4】(2023春·江苏盐城·九年级统考期中)如图,点O是△ABC的内心,也是△DBC的外心.若∠A=84°,则∠D的度数( )
    A.42°B.66°C.76°D.82°
    【变式4-1】(2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考期中)如图,点I为△ABC的内切圆的圆心,连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D,连接BD.已知AD=5,BD=3,则AI的长为( )
    A.1B.32C.2D.52
    【变式4-2】(2023春·河北衡水·九年级校考期中)如图,在△ABC中,∠BAC=50°,点I是△ABC的内心,

    (1)∠BIC= °;
    (2)若BI的延长线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点E,当∠ACB= °时,CE∥AB.
    【变式4-3】(2023春·九年级课时练习)如图,在平面直角坐标系中,点A0,6,点B8,0,I是△OAB的内心,则
    (1)AB= ;
    (2)点I关于x轴对称的点的坐标是 .
    【题型5 坐标系中的三角形内切圆】
    【例5】(2023·山东日照·日照市田家炳实验中学校考一模)如图,把Rt△OAB置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(3,0),点P是Rt△OAB内切圆的圆心.将Rt△OAB沿y轴的正方向作无滑动滚动.使它的三边依次与x轴重合.第一次滚动后,圆心为P1,第二次滚动后圆心为P2…依次规律,第2019次滚动后,Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是( )
    A.(673,1)B.(674,1)C.(8076,1)D.(8077,1)
    【变式5-1】(2023春·湖北鄂州·九年级校联考期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠ABC=30°,直角边BC在x轴上,其内切圆的圆心坐标为I0,1,抛物线y=ax2+2ax+1的顶点为A,则a= .
    【变式5-2】(2023春·全国·九年级统考期末)如图,△ABC中,A、B,C三点的坐标分别为A(0,8),B(–6,0),C(15,0).若△ABC内心为D,求点D的坐标.
    【变式5-3】(2023春·江苏·九年级专题练习)如图,矩形OABC,B (-4,3 ),点 M 为 △ABC 的内心,将矩形绕点 C 顺时针旋转90°,则点M的对应点坐标为( )
    A.(-2,6 )B.(-6,1)C.(-1,1)D.(-1,6)
    【题型6 由三角形的内切圆求最值】
    【例6】(2023春•扬州月考)如图是一块△ABC余料,已知AB=20cm,BC=7cm,AC=15cm,现将余料裁剪成一个圆形材料,则该圆的最大面积是 4πcm2. .
    【变式6-1】(2023春·浙江·九年级专题练习)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,点E、F分别是AD、BC的中点,点P在线段EF上,△PAB内切圆半径的最大值是( )
    A.1B.65C.54D.43
    【变式6-2】(2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习)如图,矩形ABCD,AD=6,AB=8,点P为BC边上的中点,点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点,点M是CQ的中点,则PM的最大值是 .
    【变式6-3】(2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测)如图,矩形ABCO的顶点A,C分别在x轴、y轴上,点B的坐标为−8,6,⊙M是△AOC的内切圆,点N,点P分别是⊙M,x轴上的动点,则BP+PN的最小值是 .

    【题型7 直角三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】
    【例7】(2023·全国·九年级专题练习)Rt△ABC两直角边的长分别为3cm和4cm,则其内心与外心的距离为( )
    A.2B.32C.32D.52
    【变式7-1】(2023春·全国·九年级专题练习)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC的内切圆的半径r是( )

    A.2B.3C.4D.无法判断
    【变式7-2】(2023春·山东济宁·九年级校考期末)如图,△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=8,BC=17,CA=15,则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
    A.4B.6.25C.7.5D.9
    【变式7-3】(2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习)如图,矩形ABCD,AD=6,AB=8,点P为BC边上的中点,点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点,点M是CQ的中点,则PM的最大值是 .
    【题型8 圆外切四边形的计算】
    【例8】(2011·浙江温州·中考真题)如图,O是正方形ABCD的对角线BD上一点,⊙O与边AB,BC都相切,点E,F分别在AD,DC上,现将△DEF沿着EF对折,折痕EF与⊙O相切,此时点D恰好落在圆心O处.若DE=2,则正方形ABCD的边长是( )
    A.3B.4
    C.2+2D.22
    【变式8-1】(2023春·九年级课时练习)如图,圆O是四边形ABCD的内切圆,若∠BOC=118°,则∠AOD= .
    【变式8-2】(2023春·浙江温州·九年级校考期末)如图,正方形EBFI,正方形MFCG和正方形HLGD都在正方形ABCD内,且BF=HD.⊙O分别与AE,EI,HL,AH相切,点M恰好落在⊙O上,若BF=4,则⊙O的直径为 .
    【变式8-3】(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图①,甲,乙都是高为6米的长方体容器,容器甲的底面ABCD是正方形,容器乙的底面EFGH是矩形.如图②,已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件:正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O,矩形EFGH内接于这个圆O,EF=2EH.
    (1)求容器甲,乙的容积分别为多少立方米?
    (2)现在我们分别向容器甲,乙同时持续注水(注水前两个容器是空的),一开始注水流量均为25立方米/小时,4小时后.把容器甲的注水流量增加a立方米/小时,同时保持容器乙的注水流量不变,继续注水2小时后,把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时,同时容器乙的注水流量仍旧保持不变.直到两个容器的水位高度相同,停止注水.在整个注水过程中,当注水时间为t时,我们把容器甲的水位高度记为ℎ甲,容器乙的水位高度记为ℎ乙,设ℎ乙−ℎ甲=ℎ,已知ℎ(米)关于注水时间t(小时)的函数图像如图③所示,其中MN平行于横轴.根据图中所给信息,解决下列问题:
    ①求a的值;
    ②求图③中线段PN所在直线的解析式.
    【题型9 一般三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】
    【例9】(2023春·广东梅州·九年级校考开学考试)若四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,△AOB,△BOC,△COD,△DOA的周长相等,且△AOB,△BOC,△COD的内切圆半径分别为3,4,6,则△DOA的内切圆半径是( )
    A.92B.32C.72D.以上答案均不正确
    【变式9-1】(2023·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模)如图,⊙O是△ABC的内切圆,若△ABC的周长为18,面积为9,则⊙O的半径是( )

    A.1 B.2 C.1.5 D.2
    【变式9-2】(2023春·内蒙古呼伦贝尔·九年级统考期末)如图,在△ABC中,AB+AC=53BC,AD⊥BC于D,⊙O为△ABC的内切圆,设⊙O的半径为R,AD的长为ℎ,则Rℎ的值为( )
    A.38B.27C.13D.12
    【变式9-3】(2023春·九年级课时练习)已知△ABC的周长为20,其内切圆半径R=5,则△ABC的面积为 .
    【题型10 三角形内切圆与外接圆的综合运用】
    【例10】(2023·全国·九年级专题练习)如图,点I为的△ABC内心,连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D,若AI=2CD,点E为弦AC的中点,连接EI,IC,若IC=6,ID=5,则IE的长为( )
    A.5B.4.5C.4D.3.5
    【变式10-1】(2023•游仙区模拟)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,其周长为20,⊙I是△ABC的内切圆,其半径为3,则△BIC的外接圆直径为 1433 .
    【变式10-2】(2023春·山东聊城·九年级山东省聊城第三中学校考期中)如图所示,点I是△ABC的内心,AI的延长线交△ABC的外接圆于点D,交BC边于点E,
    求证:(1)ID=BD
    (2)BD2 =DA·ED
    【变式10-3】(2023·浙江金华·九年级期末)已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm,腰长为50cm.
    (1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径.
    (2)用一个圆完全覆盖这块钢板,这个圆的最小半径是多少?
    (3)求这个等腰三角形的内心与外心的距离.
    三角形内切圆
    与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
    内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点,叫做三角形的内心
    三角形的内心到三角形三边的距离相等
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