北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.1 等比数列的概念及其通项公式教学演示课件ppt

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知识点1　等比数列的概念及通项公式 顺序不能颠倒　　1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比值都是同一个常数,那么称这样的数列为等比数列,称这个常数为等比数列的公比,通常用字母q(q≠0)表示.
名师点睛对等比数列定义的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征).(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠倒.(4)等比数列中的任何一项均不能为零.(5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.2.等比数列的通项公式首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0).
当q>0且q≠1时该通项公式可看作指数型函数
名师点睛1.已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得第四个量.2.变形形式an=am·qn-m.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等比数列的公比可以为任意实数.(　　)(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比都是常数,则这个数列是等比数列.(　　)(3)常数列既是等差数列又是等比数列.(　　)2.等比数列中有为0的项吗?公比为1的数列是等差数列吗?
提示 由等比数列的定义知等比数列中没有为0的项,公比为1的数列既是等差数列又是等比数列.
知识点2　等比中项 如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G称为a与b的等比中项,此时G2=ab. 不是所有的两个数都有等比中项名师点睛等比中项概念的理解(1)只有同号的两个实数才有等比中项.(2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.
过关自诊1.判断正误(正确的画√,错误的画×)(1)任何两个实数都有等比中项.(　　)(2)2和8的等比中项是4.(　　)(3)若G2=xy,则G叫x,y的等比中项.(　　)2.等比中项与等差中项有什么区别?
提示 (1)任意两数都存在等差中项,但不是任意两数都存在等比中项,当且仅当两数同号且均不为0时,才存在等比中项.(2)任意两数的等差中项是唯一的,而如果两数有等比中项,则这两数的等比中项有两个,且互为相反数.
探究点一　等比数列基本量的计算
【例1】 在等比数列{an}中:(1)已知a3+a6=36,a4+a7=18,an= ,求n;(2)已知a5=8,a7=2,an>0,求an.
规律方法　等比数列的通项公式及变形的应用(1)在已知等比数列的首项和公比的前提下,利用通项公式an=a1qn-1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.(2)在已知等比数列中任意两项的前提下,利用an=amqn-m(amq≠0)也可求出等比数列中的任意一项.
变式训练1(1)在等比数列{an}中,已知a1=2,a1-a3+a5=26,则a3=(　　)A.20B.12C.8D.4
解析 设{an}的公比为q,则a1-a3+a5=a1-a1q2+a1q4=2(1-q2+q4)=26,解得q2=4,所以a3=a1q2=8,故选C.
(2)已知在等比数列{an}中,a3=4,a4a6=32,则 的值为(　　)A.2B.4C.8D.16
探究点二　等比中项及其应用
【例2】 已知等比数列{an}的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.
规律方法　1.首项a1和公比q是等比数列{an}的基本量,从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.2.解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个,它们互为相反数,而异号的两个数没有等比中项.
变式训练2(1)在等差数列{an}中,a4=9,且a2,a4,a10构成等比数列,则公差d等于(　　)A.-3B.0C.3D.0或3
(2)三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,则这三个数是　　　　　　　　. 
2,4,8或8,4,2　
探究点三　等比数列的判定
角度1.已知数列的前若干项判断其是否为等比数列【例3】 判断下列数列是否为等比数列.(1)1,3,32,33,…,3n-1,…;(2)-1,1,2,4,8,…;(3)a1,a2,a3,…,an,…;(4)在数列{an}中, =q(q≠0),其中n∈N+.
解 (1)记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,….∴数列为等比数列,且公比为3.
(2)记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,
(3)当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列;当a≠0时,数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a.(4)是等比数列.
规律方法　判定等比数列,要抓住3个要点:①从第二项起;②要判定每一项,不能有例外;③每一项与前一项的比是同一个常数,且不能为0.
变式训练3下列各组数成等比数列的是(　　)①1,-2,4,-8;②- ,2,-2 ,4;③x,x2,x3,x4;④a-1,a-2,a-3,a-4.A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④
解析 ①②显然是等比数列;∵x可能为0,∴③不是等比数列;∵a不能为0,∴④符合等比数列定义,故④是.
角度2.已知递推公式判断其是否为等比数列【例4】 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.(1)求证:数列{an+1}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 ∵an+1=2an+1,又a1+1=2≠0,∴数列{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列.(2)解 由(1)知an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.
规律方法　证明数列是等比数列常用的方法
变式训练4数列{an}满足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n=2,3,…).(1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.
解 (1)a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15.又a1-1=-2,∴数列{an-n}是以-2为首项,3为公比的等比数列.(2)由(1)知an-n=-2×3n-1,∴an=n-2×3n-1.
1.知识清单:(1)等比数列基本量的运算.(2)等比中项及其应用.(3)等比数列的判定.2.方法归纳:方程(组)思想、不完全归纳法.3.常见误区:(1)等比中项仅取正值;(2)不会判断数列的通项公式.
1.若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为(　　)A.4B.8C.6D.32
解析 由等比数列的通项公式,得128=4×2n-1,2n-1=32,所以n=6.
2.已知在等比数列{an}中,a3=3,a2a7=9a4,则a1=(　　)A.±1B.±2C.1D.2
3.已知数列{an},{bn}分别为等差数列、等比数列,若a3+a5=4,b3b4b5=-8,则a4+b4=(　　)A.-1B.0C.1D.2
解析 因为数列{an},{bn}分别为等差数列、等比数列,所以a3+a5=2a4=4,b3b4b5= =-8,所以a4=2,b4=-2,则a4+b4=0,故选B.
4.(多选题)下列说法正确的有(　　)A.等比数列中的项不能为0B.等比数列的公比的取值范围是RC.若一个常数列是等比数列,则公比为1D.22,42,62,82,…成等比数列
解析 A显然正确;等比数列的公比不能为0,故B错误;C显然正确;由于 ,故不是等比数列,D错误.
5.已知数列{an}的通项公式为an=2n-3,若a3,a6,am成等比数列,则m=(　　)A.9B.12C.15D.18
解析 由an=2n-3,若a3,a6,am成等比数列,则 =a3·am,即81=3(2m-3),解得m=15.故选C.