北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 数学归纳法评课课件ppt

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知识点　数学归纳法的定义数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是: 不要误以为n0=1(1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题成立;(2)假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
名师点睛数学归纳法中的两个步骤之间的关系记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下:条件:(1)证P(n0)为真;(2)证若P(k)(k∈N+,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真,结论:P(n)为真.第一步验证了当n=n0时结论成立,即命题P(n0)为真;第二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题:若P(k)为真,则P(k+1)也为真.只要将这两个步骤完成,就有P(n0)为真,P(k)真,P(k+1)真……,从而完成证明.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳假设.(　　)(2)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.(　　)(3)用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的项数一定只增加了一项.(　　)
2.数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
提示 不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第一个值n0=3.
探究点一　用数学归纳法证明等式
【例1】 (1)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…× (2n-1)(n∈N+),“从k到k+1”左端增乘的代数式为　　　　　. 
解析 令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),则f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),
规律方法　用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
探究点二　用数学归纳法证明不等式
规律方法　用数学归纳法证明不等式的四个关键
探究点三　用数学归纳法证明数列问题
【例3】 已知数列{an},a1=1,an+1= (n=1,2,3,…).(1)求a2,a3,a4,a5;(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.
规律方法　“归纳—猜想—证明”的一般步骤
(1)求a2,a3,a4的值;(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明.
1.知识清单:(1)数学归纳法证明等式.(2)数学归纳法证明不等式.(3)数学归纳法证明数列问题.2.方法归纳:数学归纳法.3.常见误区:n的第一个取值不正确;当n=k+1时,添加的式子不正确.
1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)= (n∈N+),验证n=1时,左边应取的项是(　　)A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4
解析 当n=1时,左边=1+2+3+4.
3.用数学归纳法证明 1)时,第一步应验证的不等式是　　　　　　　. 
(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
解析 n=k时,左端为1+2+3+…+k2,n=k+1时,左端为1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.
5.设数列a1,a2,…,an中的每一项都不为0.证明:{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+,都有
证明 先证必要性,设数列an的公差为d,若d=0,则所述等式显然成立.
再证充分性,用数学归纳法证明:①设所述的等式对任意n∈N+都成立,首先在等式 两端同时乘a1a2a3,即得a1+a3=2a2,所以a1,a2,a3成等差数列,记公差为d,则a2=a1+d.