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数学选择性必修 第一册2.1 双曲线及其标准方程课文ppt课件
展开基础落实·必备知识全过关
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知识点1 双曲线的定义1.定义平面内到两个定点F1,F2的距离之 等于 (大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线. 这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2.集合语言表达式双曲线就是集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}.平面内符合条件的点集
名师点睛1.若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点M的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|MF1|与|MF2|的大小.(1)若|MF1|>|MF2|,则|MF1|-|MF2|>0,点M的轨迹是靠近定点F2的那一支;(2)若|MF1|<|MF2|,则|MF2|-|MF1|>0,点M的轨迹是靠近定点F1的那一支.2.双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|.(1)若定义中的常数等于|F1F2|,此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(2)若定义中的常数大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在.(3)若定义中的常数为0,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
过关自诊[人教A版教材习题]如图,圆O的半径为定长r,A是圆O外一个定点,P是圆O上任意一点.线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
提示 当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是双曲线.连接OA,QA(图略),由已知得|QP|=|QA|,所以||QA|-|QO||=||QP|-|QO||=r.又因为点A在圆外,所以|OA|>|OP|=r,所以点Q的轨迹是双曲线.
知识点2 双曲线的标准方程
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
过关自诊1.[人教B版教材习题]分别根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)a=3,b=4,且焦点在x轴上;(2)焦点为F1(0,-6)和F2(0,6),且经过点A(2,-5).
2.[人教B版教材习题]已知双曲线x2-y2=m与椭圆2x2+3y2=72有相同的焦点,求m的值.
探究点一 双曲线的概念
【例1】 设平面上的点到两个定点F1(5,0),F2(-5,0)的距离之差的绝对值分别等于(1)6;(2)10;(3)12.满足条件的曲线若存在,是什么样的曲线?若不存在,请说明理由.
解 (1)存在.∵|F1F2|=10,而6<10,∴满足条件的曲线是双曲线.(2)存在.∵|F1F2|=10,而10=10,∴满足条件的是以F1,F2为端点的两条射线.(3)不存在.∵|F1F2|=10,而12>10,∴满足该条件的曲线不存在.
规律方法 双曲线是到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹),要注意条件“常数(大于零且小于|F1F2|)”.
变式训练1已知A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当a=3或5时,P点的轨迹为( )A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线
解析 当a=3时,2a=6,此时|AB|=10,∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a=5时,2a=10,此时|AB|=10,∴点P的轨迹为射线,且是以B为端点的一条射线.
探究点二 求双曲线的标准方程
【例2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程:
规律方法 1.求双曲线标准方程的两个关注点
2.双曲线标准方程的两种求法(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程.(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程 (a,b均为正数),然后根据条件求出待定的系数,代入方程即可.[注意]若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1的形式,注意标明条件mn<0.
变式训练2求符合下列条件的双曲线的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;
探究点三 双曲线中的焦点三角形
【例3】 若F1,F2是双曲线 的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;
(2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.
(1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于x,则|16-x|=6,解得x=10或x=22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理得
变式探究将本例(2)中的条件“|PF1|·|PF2|=32”改为“∠F1PF2=60°”,求△F1PF2的面积.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|-|PF1|=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cs 60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64,
规律方法 求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)(方法一)①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;③通过配方,利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;
变式训练3设P为双曲线x2- =1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,则△PF1F2的面积为 .
解析 由已知得2a=2,又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2,因为|PF1|∶|PF2|=3∶2,所以|PF1|=6,|PF2|=4.
探究点四 利用定义确定与双曲线有关的轨迹方程
规律方法 1.求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.2.求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
变式训练4已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=16,若动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解 圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;圆F2:(x-5)2+y2=16,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.
1.知识清单:(1)双曲线的定义及应用.(2)双曲线的标准方程及其求法.(3)有关双曲线中的焦点三角形问题.2.方法归纳:定义法、待定系数法、分类讨论.3.常见误区:双曲线焦点位置的判断,忽略双曲线成立的必要条件.
1.[2023重庆巫山高二期末]在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=8,则动点P的轨迹是( )A.椭圆B.抛物线C.双曲线D.双曲线的一支
解析 因为F1(-5,0),F2(5,0),所以|F1F2|=10,若动点P满足||PF1|-|PF2||= 8<|F1F2|=10,则动点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.而题目中动点P只满足|PF1|-|PF2|=8,有|PF1|>|PF2|,所以动点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的右支.
3.已知双曲线 (a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为( )A.4aB.4a-mC.4a+2mD.4a-2m
4.经过点P(-3,2 )和Q(-6 ,-7),且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 .
5.如图所示,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且双曲线过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,求此双曲线的标准方程.
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