北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 双曲线的简单几何性质课堂教学课件ppt

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知识点　双曲线的几何性质
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
名师点睛1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点)、“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开放性曲线;双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一支上;根据方程判断焦点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性.2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是唯一的,但如果双曲线的渐近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可设为 (λ≠0),当λ>0时,对应的双曲线焦点在x轴上,当λ<0时,对应的双曲线焦点在y轴上.
3.因为 ,所以离心率的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线开口的大小,离心率越大,开口越开阔,离心率越小,开口越扁狭.4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率等于 .
过关自诊1.[人教A版教材习题]双曲线4x2-y2+64=0上一点P与它的一个焦点的距离等于1,那么点P与另一个焦点的距离等于　　　　. 
解析 把双曲线方程化为标准方程,得 ,所以a=8.由双曲线定义可知,点P到两焦点距离的差的绝对值等于16,设点P到另一个焦点的距离为m,有|m-1|=16,解得m=17或m=-15(舍去).故点P与另一个焦点的距离等于17.
2.[人教A版教材习题]求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x轴上,a=2 ,经过点A(-5,2);
3.[人教A版教材习题]已知下列双曲线的方程,求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程:(1)16x2-9y2=144;(2)16x2-9y2=-144.
探究点一　　由双曲线方程研究其几何性质
【例1】 求双曲线9y2-4x2=-36的x,y的取值范围、顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
变式探究求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
规律方法　由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤
A.两个双曲线有公共顶点B.两个双曲线焦距相同C.两个双曲线有公共渐近线D.两个双曲线的离心率相等
探究点二　　由双曲线的几何性质求标准方程
【例2】 根据以下条件,求双曲线的标准方程.
规律方法　1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧
(5)渐近线为y=kx(k≠0)的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
变式训练2求符合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为 ;(2)过点(2,0),与双曲线 离心率相等.
探究点三　　双曲线的渐近线与离心率问题
角度1.求双曲线的离心率或取值范围【例3】 设点F为双曲线C: =1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则双曲线C的离心率为(　　)
规律方法　求双曲线离心率及范围的常见方法(1)求双曲线离心率的常见方法:①若可求得a,c,则直接利用e= 得解;②若已知a,b,或得到a,b的关系式,可利用 求解;③若得到的是关于a,c的齐次方程,则方程两边同除以a的最高次幂,转化为关于e的方程求解.
(2)求离心率范围的技巧:①根据条件建立a,b,c的不等式,类似于求离心率的方法转化求解;②通过解不等式得 的范围,求得离心率的范围.
变式训练3如图所示,F1和F2分别是双曲线 (a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心、|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为　　　　　. 
解析 连接AF1(图略),由△F2AB是等边三角形,知∠AF2F1=30°.
角度2.双曲线的渐近线与离心率的综合
规律方法　双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以借助 进行互求.一般地,如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程,或者已知渐近线方程,求离心率的值,都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况),不能忘记分类讨论.
探究点四　　与双曲线定义有关的最值问题
规律方法　利用双曲线的定义对|MA|+|MB|进行转化,注意最小值一般在三点共线时取得.
(2)已知F是双曲线 的左焦点,点A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为　　　　. 
解析 设双曲线的右焦点是F1,由双曲线的定义,得|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|+4≥|AF1|+4=5+4=9,当点P在线段AF1上时取等号,故最小值为9.
1.知识清单:(1)双曲线的几何性质及应用.(2)等轴双曲线.(3)与双曲线有关的最值问题.2.方法归纳:数形结合法、待定系数法、直接法、解方程法.3.常见误区:求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
1.[2023宁夏青铜峡市高级中学高二期末]双曲线2y2-x2=1的渐近线方程是(　　)
2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为(　　)A.4 B.-4
3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是(　　)A.x2-y2=8B.x2-y2=4C.y2-x2=8D.y2-x2=4
4.[2023河北邯郸高三校联考开学考试]若双曲线x2-m2y2=λ(λ≠0)的两条渐近线互相垂直,则m的值是(　　)A.-1B.±1C.2D.±2