新教材2023_2024学年高中数学第二章圆锥曲线本章总结提升课件北师大版选择性必修第一册

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第二章本章总结提升网络构建·归纳整合专题突破·素养提升目录索引 网络构建·归纳整合专题突破·素养提升专题一　圆锥曲线的定义及标准方程的有关问题求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养.求圆锥曲线方程的常用方法有:(1)直接法:动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)定义法:动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量.(3)代入法:动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.(4)待定系数法:根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数.【例1】 (1)已知抛物线y2=8x的准线经过双曲线 =1(a>0,b>0)的一个焦点, 且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为　　　　　　　　. (2)在圆x2+y2=4上任取一点P,设点P在x轴上的投影为点D.当点P在圆上运动时,动点M满足 ,设动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程.规律方法　1.应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.2.涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决.3.在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.变式训练1(1)已知动点M(x,y)满足方程 ,则动点M的轨迹是(　　)A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.以上都不对C∴动点M到原点的距离与它到直线3x+4y-12=0的距离相等.∴由抛物线定义可知,点M的轨迹是以原点为焦点,以直线3x+4y-12=0为准线的抛物线.(2)点P是抛物线y2=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此时点P的坐标.解 抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,那么点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离,过点P作PD垂直于准线x=-2,垂足为D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.如图所示,根据平面几何知识,当M,P,D三点共线时,|PM|+|PF|的值最小,且最小值为|MD|=2-(-2)=4,所以|PM|+|PF|的最小值是4.此时点P的纵坐标为3,代入抛物线方程解得横坐标为专题二　圆锥曲线方程与性质的应用【例2】 如图,椭圆C1,C2与双曲线C3,C4的离心率分别为e1,e2与e3,e4,则e1,e2,e3,e4的大小关系是(　　)A.e20,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率为(　　)C(2)如图,等边三角形OAB的边长为8 ,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上,则抛物线E的标准方程为　　　　　　. x2=4y　 专题三　直线与圆锥曲线(1)求曲线C的方程;(2)设D为直线y=-2上的动点,过D作曲线C的两条切线,切点分别是E,F,证明:直线EF过定点.规律方法　直线与圆锥曲线的综合问题,主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等,求解这类问题时,通常采用代数方法,将直线方程与圆锥曲线的方程联立,消去其中一个未知量,通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系,同时,还经常利用根与系数的关系,采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:y=kx+m(m≠0)与椭圆的两交点为A,B,线段AB的中点C在直线y= x上,O为坐标原点,当△OAB的面积等于 时,求直线l的方程.专题四　圆锥曲线中的定点、定值问题在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题.而如果是含有参变量的直线不管该参变量取何值,均过某一点的问题则称为定点问题.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.【例4】 已知直线l经过椭圆C: =1(a>b>c)的右焦点(1,0),交椭圆C于点A,B,点F为椭圆C的左焦点,△ABF的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线m与直线l的倾斜角互补,且交椭圆C于点M,N,|MN|2=4|AB|,求证:直线m与直线l的交点P在定直线上.(2)证明 若直线l的斜率不存在,则直线m的斜率也不存在,这与直线m与直线l相交于点P矛盾,所以直线l的斜率存在.设l:y=k(x-1)(k≠0),m:y=-k(x+t),A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN).将直线m的方程代入椭圆方程,整理得(3+4k2)x2+8k2tx+4(k2t2-3)=0,规律方法　圆锥曲线中的定点(值)问题的计算方法(1)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定点(值).探索直线过定点时,可设直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立关于b,k的等量关系进行消元,借助直线系方程找出定点.(2)从特殊情况入手,先探求定点(值),再证明此定点(值)与变量无关.①有关斜率的定值问题,包含证明动直线的斜率为定值,不同直线斜率的关系(比如说:k1+k2,k1k2, )是定值.方法:设原始量的有关变量,逐步表示出关系式中涉及的斜率,最后进行化简得到一个定值.②有关向量的定值问题,包括向量之积为定值,向量之间一些稍微复杂的关系为定值,两直线垂直(可以用向量的数量积为0来证明).方法:设出原始量的变量,逐步表示出向量所涉及的点的坐标,再表示出向量,直接利用坐标关系列式子,最后化简得定值.(当求 ,而A,B,C,D在同一条直线上时,可化为求线段长度之积|AB||CD|的问题,只是要注意正负号即可)③有关线段长的定值问题,包括线段的长为定值,线段长之间的关系式方法:设原始量的变量,推出线段的长的表达式(这里常用到“设而不求”法求弦长),然后代入式子化简求得定值.变式训练4已知O为坐标原点,过点M(1,0)的直线l与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且(1)求抛物线C的方程;(2)过点M作直线l'⊥l交抛物线C于P,Q两点,记△OAB,△OPQ的面积分别为S1,S2,证明: 为定值.(1)解 设直线l:x=my+1,与y2=2px联立消x,得y2-2pmy-2p=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-2p.所以 =x1x2+y1y2 =(my1+1)(my2+1)+y1y2=(1+m2)y1y2+m(y1+y2)+1=(1+m2)(-2p)+2pm2+1=-2p+1=-3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明 由(1)知M(1,0)是抛物线C的焦点,所以|AB|=x1+x2+p=my1+my2+2+p=4m2+4.专题五　圆锥曲线中参数范围和最值问题圆锥曲线中的目标取值范围与最值问题关键是选取合适的变量建立目标函数,转化为研究函数的取值范围与最值问题来解决.【例5】 (1)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是(　　)A.(0,+∞) B.(0,1] C.(-∞,1] D.(-∞,0]C解析 设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),则|PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2-(2a-2)y+a2=[y-(a-1)]2+(2a-1).因为y∈[0,+∞),根据题意知,①当a-1≤0,即a≤1,y=0时,这时|PA|min=|a|.②当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.综上可知a的取值范围为(-∞,1].(2)已知P为抛物线y= x2上的动点,点P在x轴上的投影为点M,点A的坐标是(2,0),则|PA|+|PM|的最小值是　　　　. 解析 抛物线y= x2化成标准方程为x2=4y,得它的焦点为F(0,1),准线为l:y=-1,延长PM交准线于N,连接PF,根据抛物线的定义,得|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1,因为在△PAF中,|PA|+|PF|>|AF|,所以当且仅当P,A,F三点共线时, 规律方法　圆锥曲线中最值与范围的求法有两种:(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值与范围,求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.(1)求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹方程;(2)设点M的轨迹为曲线C且与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P,Q,点A(0,-1),当|AP|=|AQ|时,求实数m的取值范围.