高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系课文内容课件ppt

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知识点1　两条直线所成的角当两条直线a与b相交时,我们把两条直线交角中范围在 内的角叫作两条直线所成的角.当两条直线平行时,规定它们所成的角为0. 两直线重合时,它们所成角也为0
当两条直线a与b是异面直线时,在空间任取一点O,过点O作直线a'和b',使得a'∥a,b'∥b,把a',b'所成的角叫作异面直线a与b所成的角(如图).
若向量a,b分别为直线a,b的方向向量,则直线a与b所成的角θ∈ ,且θ与两个方向向量所成的角相等或互补,也就是说:
当0≤≤ 时,θ=;
当 <≤π时,θ=π-,故cs θ=|cs|.
名师点睛不要将两直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两直线所成角的范围是 ,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
过关自诊1.[人教A版教材习题]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是(　　)
解析 (方法一:坐标法)建立如图1所示的空间直角坐标系,
设BC=CA=CC1=2,∴B(0,2,0),D1(1,1,2),A(2,0,0),F1(1,0,2),
2.[人教A版教材习题]如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3, AD=BC=2,M,N分别是AD,BC的中点,求异面直线AN,CM所成角的余弦值.
3.[人教A版教材习题]如图,M,N分别是正方体ABCD-A'B'C'D'的棱BB'和B'C'的中点.求:(1)MN和CD'所成角的大小;(2)MN和AD所成角的大小.
知识点2　直线与平面所成的角设向量l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α所成的角θ∈
指直线和它在平面内的投影所成角
故sin θ=|cs|.
名师点睛1.直线与平面平行或在平面内时,规定直线与这个平面所成角为0.2.直线与平面垂直,规定直线与这个平面所成角为 .3.若是一个锐角,则θ= -;若是一个钝角,则θ=- .
过关自诊1.[人教A版教材习题]PA,PB,PC是从点P出发的三条射线,每两条射线的夹角均为60°,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(　　)
解析 如图所示,把PA,PB,PC放在正方体中,PA,PB,PC的夹角均为60°.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则P(1,0,0),C(0,0,1),A(1,1,1),B(0,1,0).
2.[人教A版教材习题]如图,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直, OA=OC=3,OB=2.求直线OB与平面ABC所成角的正弦值.
提示 ∵OA,OB,OC两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.∵OA=OC=3,OB=2,∴O(0,0,0),A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0).
3.[人教A版教材习题]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,K,L分别是AB,BB1,B1C1,C1D1,D1D,DA各棱的中点.(1)求证:A1C⊥平面EFGHKL;(2)求DB1与平面EFGHKL所成角的余弦值.
知识点3　两个平面所成的角一般地,已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角相等(如图(1))或互补(如图(2)).
名师点睛1.二面角的平面角的取值范围是[0,π].2.利用向量求二面角的平面角有两种方法.(1)几何法:若AB,CD分别在二面角α-l-β的两个半平面内,且是与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(或其补角)(如图1).
(2)向量法:设n1,n2是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图2).
过关自诊1.两平面相交时,它们所成角的取值范围是什么?
2.[人教A版教材习题]如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,求二面角A-A1B-C1的平面角的余弦值.
提示 ∵正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,取BC的中点O,则AO⊥BC,∴AO⊥平面BB1C1C.取B1C1的中点H,连接OH,∴AO,BO,OH两两垂直,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
3.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在BB1,DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D.(1)求证:A1C⊥平面AEF;(2)当AB=4,AD=3,AA1=5时,求平面AEF与平面D1B1BD的夹角的余弦值.
提示 (1)(方法一)∵CB⊥平面A1ABB1,∴A1C在平面A1ABB1上的投影为A1B.由A1B⊥AE,AE⊂平面A1ABB1,得A1C⊥AE.同理可证A1C⊥AF.∵AF∩AE=A,∴A1C⊥平面AEF.∴A1C⊥AE.同理A1C⊥AF.∵AE∩AF=A,∴A1C⊥平面AEF.
探究点一　　利用向量方法求两异面直线所成的角
【例1】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值.
规律方法　1.若异面直线l1与l2所成角为θ,且它们的方向向量分别为向量a,b,利用向量计算θ的步骤如下:
2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.(2)范围:异面直线所成角的范围是 ,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.
解 建立如图所示的空间直角坐标系,
探究点二　　利用向量方法求直线与平面所成的角
【例2】 如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC, AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
规律方法　若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下:
变式训练2 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
探究点三　　利用向量方法求两个平面所成的角
【例3】 如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD, ∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.(1)求证:AE⊥PD;(2)若PA=AB=2,求二面角E-AF-C的平面角的余弦值.
(1)证明 由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.而PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,所以AE⊥PD.
取z1=-1,则m=(0,2,-1).连接BD,因为BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以BD⊥平面AFC.
规律方法　用几何法求二面角,往往需要作出其平面角,这是几何中的难点之一;而用向量法求解二面角的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单运算即可.
变式训练3如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1⊥平面ABC;(2)求二面角A1-BC1-B1的平面角的余弦值;(3)在线段BC1上是否存在点D(异于B,C1两点),使得AD⊥A1B,并求 的值.
(1)证明 ∵四边形AA1C1C为正方形,∴AA1⊥AC.∵平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,∴AA1⊥平面ABC.
(2)解 由(1)知A1A⊥AC,AA1⊥AB,由题意知,AB=3, BC=5,AC=4,则AB⊥AC.如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z).
1.知识清单:(1)两条直线所成角、直线与平面所成的角、两个平面所成的角的取值范围.(2)两条直线所成角和两条直线的方向向量所成角的关系.(3)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成角的关系.(4)二面角的平面角与两个半平面的法向量所成角的关系.2.方法归纳:几何法、向量法.3.常见误区:忽视所求角的取值范围,求线面角时易误求线面角的余角,二面角是钝角还是锐角判断错误.
1.平面α的斜线l与它在这个平面上投影l'的方向向量分别为a=(1,0,1), b=(0,1,1),则斜线l与平面α所成的角为(　　)A.30°B.45°C.60°D.90°
2.(多选题)在一个二面角的两个平面内,和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的平面角的余弦值为(　　)
3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)
解析 以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).
4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是(　　)
5.如图的多面体是直棱柱ABCD-A1B1C1D1被平面AEFG所截后得到的几何体,其中∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°.(1)求证:BD⊥平面ADG;(2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的平面角的余弦值.
(1)证明 在△BAD中,∵AB=2AD=2,∠BAD=60°,∴由余弦定理可得BD= .∴AB2=AD2+BD2,∴AD⊥BD.又GD⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴GD⊥BD.又AD∩GD=D,∴BD⊥平面ADG.