北师大版 (2019)选择性必修 第一册第五章 计数原理3 组合问题3.2 组合数及其性质备课ppt课件

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知识点　组合的有关概念 　　　　 　　　　 这n个元素不相同一般地,从n个不同元素中任取m(m≤n,且m,n∈N+)个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数,记作 . 
过关自诊1.[人教A版教材习题]壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张,一共可以组成多少种币值?
提示 因为四张人民币的面值都不相同,组成的面值与顺序无关,所以可以分为四类面值,分别由1张、2张、3张、4张人民币组成,共有不同的面值
2.[人教A版教材习题](1)空间中有8个点,其中任何4个点不共面,过每3个点作一个平面,可以作多少个平面?(2)空间中有10个点,其中任何4个点不共面,过每4个点为顶点作一个四面体,可以作多少个四面体?
提示 (1)因为“三个不共线的点确定一个平面”,且所确定的平面与点的顺序无关,所以共可确定的平面数是(2)因为四面体由四个顶点唯一确定,且与四个点的顺序无关,所以共可确定的四面体个数是
3.[人教A版教材习题]在一次考试的选做题部分,要求在第1题的4个小题中选做3个小题,在第2题的3个小题中选做2个小题,在第3题的2个小题中选做1个小题,有多少种不同的选法?
提示 因为只要选出要做的题目即可,所以是组合问题.可以分三步分别从第1,2,3题中选题,因此由分步乘法计数原理得,不同的选法种数为
探究点一　　有限制条件的组合问题
【例1】 现有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)既要有队长,又要有女运动员.
规律方法　有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类:
变式训练1(1)某组织从4名男运动员、6名女运动员中各选一名运动员作为最佳运动员,不同的选法种数为(　　)A.12B.30C.15D.24
(2)从(1)中的4名男运动员、6名女运动员中选出3人参加某公益活动,则至多有2名男运动员的选法有　　　　　种. 
探究点二　　分组、分配问题
角度1.不同元素分组、分配问题【例2】 有6本不同的书,按下列方式分组或分配,则共有多少种不同的方式?(1)分成三组,每组分别有1本,2本,3本;(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;(3)分成三组,每组都是2本;(4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.
规律方法　分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:①完全均匀分组,每组的元素个数均相等;②部分均匀分组,应注意不要重复,若有n组均匀,最后必须除以n!;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.
变式训练2某宾馆安排A,B,C,D,E五人入住3个不同的房间,每个房间至少住1人,且A,B不能住同一房间,则不同的安排方法的种数为(　　)A.24B.48C.96D.114
角度2.相同元素分配问题【例3】 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中,分别求下列要求下的放法的种数.(1)每个盒子都不空;(2)恰有一个空盒子;(3)恰有两个空盒子.
解 (1)先把6个相同的小球排成一行,在首尾两球外侧放置一块隔板,然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板,有 =10(种).
规律方法　相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有 种方法.可描述为(n-1)个空中插入(m-1)块隔板.
变式训练3某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有(　　)A.4种B.10种C.18种D.20种
解析 由于只剩一本书,且这些画册、集邮册分别相同,可以从剩余的书的类别进行分析.又由于排列、组合针对的是不同的元素,应从4位朋友中进行选取.第一类:当剩余的一本是画册时,相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友,只有1位朋友得到画册.即把4位朋友分成人数为1,3的两队,有1个元素的那队分给画册,另一队分给集邮册,有 种分法.第二类:当剩余的一本是集邮册时,相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友,有2位朋友得到画册,即把4位朋友分成人数为2,2的两队,一队分给画册,另一队分给集邮册,有 种分法.因此,满足题意的赠送方法共有
探究点三　　与几何有关的组合应用题
【例4】 如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,…,C6,线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.(1)以C1,C2,C3,C4,C5,C6,D1,D2,D3,D4这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形?其中含C1点的有多少个?(2)以图中的12个点(包括点A,B)中的4个点为顶点,可作出多少个四边形?
规律方法　1.图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用间接法.2.把一个与几何相关的问题转化为组合问题,体现了数学抽象及数学运算的核心素养.
变式训练4空间中有10个点,其中有5个点在同一个平面内,其余点无三点共线,无四点共面,则以这些点为顶点,共可构成四面体的个数为(　　)A.205B.110C.204D.200
1.知识清单:(1)有限制条件的组合问题:①特殊元素;②分配问题;③相同元素分配问题.(2)与几何相关的应用题.2.核心素养:分类讨论、化归、数学建模.3.常见误区:分类标准是否恰当,能否做到“不重不漏”,问题情境的转化.
1.身高各不相同的7名同学排成一排照相,要求正中间的同学最高,左右两边分别顺次一个比一个低,这样的排法种数是(　　)A.5 040B.36C.18D.20
2.某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动,若男生甲和女生乙不能同时参加,则不同的选派方案共有(　　)A.25种B.35种C.820种D.840种
3.(多选题)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛,则下列说法正确的有(　　)A.如果4人中男生女生各有2人,那么有30种不同的选法B.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有28种不同的选法C.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,那么有140种不同的选法D.如果4人中必须既有男生又有女生,那么有184种不同的选法
4.某学校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有　　　　　种(用数字作答).