高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第五章 计数原理4 二项式定理4.2 二项式系数的性质教学课件ppt

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知识点1　杨辉三角(a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形式:
上面的二项式系数表称为　 . 
名师点睛从上面的表示形式可以直观地看出:在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
2.[人教A版教材习题]写出n从1到10的二项式系数表.
3.[人教A版教材习题]若一个集合含有n个元素,则这个集合共有多少个子集?
提示 (方法一)对于集合中的任一元素,它与子集的关系都有且只有两种选择:“属于”与“不属于”,由分步乘法计数原理,得集合中的n个元素在子集中的情况共有2n种,故这个集合共有2n个子集.(方法二)n个元素的集合子集元素个数可以分为0,1,2,…,n,共n+1类.故子集个数为
知识点2　二项式系数的性质1.对称性:在(a+b)n的展开式中,与首末两端“　　　　　　　”的两个二项式系数相等,即2.增减性与最大值:当k< 时,二项式系数是逐渐　　　　　的,由对称性可知它的后半部分是逐渐　　　　　的,且在中间取得最大值.当n是偶数时,中间一项的二项式系数　　　　　　　取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数　　　　　　　　　　　相等,且同时取得最大值. 
3.各二项式系数的和 利用“赋值法”求解
名师点睛求二项式系数的最大值或最小值时,一定要搞清楚n是奇数还是偶数.
过关自诊1.[人教A版教材习题](1)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是(　　)　　　　 　　　　 　　　A.74D.-121
(2)(x+1)n的展开式中x2的系数为15,则n=(　　)A.7B.6C.5D.4
2.[人教A版教材习题](x+y)(x-y)5的展开式中x3y3的系数是　　　　　. 
3.[人教A版教材习题](1)求(1-2x)15的展开式的前4项;(2)求(2a3-3b2)10的展开式的第8项;
提示 (1)前4项分别是1,-30x,420x2,-3 640x3.(2)T8=-2 099 520a9b14.(3)T7=924.
探究点一　　与杨辉三角有关的问题
【例1】 如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求S19的值.
规律方法　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
变式训练1杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中记载了“杨辉三角”.若用ai-j表示如图所示三角形数阵的第i行第j个数,则a100-3=(　　)
A.5 050B.4 851C.4 950D.5 000
探究点二　　求展开式中各项系数的和
【例2】 若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求:(1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1;(3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.
解 (1)令x=0,则a0=-1;令x=1,则a7+a6+…+a1+a0=27=128,①所以a7+a6+…+a1=128-(-1)=129.
(4)∵在(3x-1)7展开式中,a7,a5,a3,a1均大于零,而a6,a4,a2,a0均小于零, ∴|a7|+|a6|+…+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a2+a4+a6)=(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)+a0=8 256-(-8 128)+(-1)=16 383.
规律方法　“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.
变式训练2在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.
(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
探究点三　　二项式系数性质的综合应用
(1)系数的绝对值最大的项是第几项?(2)求二项式系数最大的项.(3)求系数最大的项.(4)求系数最小的项.
规律方法　1.求二项式系数最大的项:
2.求展开式中系数最大的项:如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式中各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用 从而解得r即可.3.把系数最大项问题通过分析运算得到正确结论,体现了数学运算的核心素养.
变式训练3写出(x-y)11的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)项的系数绝对值最大的项;(3)项的系数最大的项和系数最小的项;(4)二项式系数的和;(5)各项系数的和.
解 (1)二项式系数最大的项为中间两项:T6=-462x6y5,T7=462x5y6.
(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等,又第6项系数为负数,第7项系数为正数,故项的系数最大的项为T7=462x5y6,项的系数最小的项为T6=-462x6y5.
1.知识清单:(1)杨辉三角的相关问题.(2)展开式中各项系数的和.(3)二项式系数性质的综合应用.2.核心素养:数学运算.3.常见误区:二项式系数与项的系数混淆,不能合理的赋值.
1.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)5的展开式中各项系数之和为(　　)A.64B.31C.63D.62
2. 的展开式中,系数最大的项是(　　)A.第6项B.第3项C.第3项和第6项D.第5项和第7项
3.在 的展开式中,第4项与第5项的二项式系数相等,则系数最大的有理项是(　　)A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项
4.已知x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则lg2(a1+a3+…+a11)=　　　　　.