新高考物理一轮复习知识梳理+分层练习专题28 开普勒行星运动定律、天体质量密度估算和不同位置重力加速度（含解析）

2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练

专题28 开普勒行星运动定律、天体质量密度估算和不同位置重力加速度

【知识导学与典例导练】

一、开普勒行星运动定律

注意：

①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理；

②面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等；

③该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。

【例1】2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站。对接过程如图所示，天和核心舱处于半径为的圆轨道Ⅲ，神舟十二号飞船沿着半径为的圆轨道I运动到Q点时，通过变轨操作，沿椭圆轨道Ⅱ运动到P点与天和核心舱对接，从Q到P经历的时间为T，则（　　）

A．神舟十二号在轨道I上的周期为

B．天和核心舱在轨道Ⅲ上的周期为

C．神舟十二号飞船在轨道上经过Q点的加速度小于轨道Ⅱ上经过Q点的加速度

D．在相同的时间内，轨道Ⅰ上神舟十二号与O点的连线和轨道Ⅲ上天和核心舱与O点的连线扫过的面积相等

【答案】B

【详解】A．轨道Ⅱ的运动周期为根据开普勒第三定律神舟十二号在轨道I上的周期为故A错误；

B．根据开普勒第三定律天和核心舱在轨道Ⅲ上的周期为故B正确；

C．由，Q点加速度为两轨道在Q点时到地球的距离相同，则加速度相等，故C错误；

D．根据开普勒第二定律，同一轨道上，在相同的时间内，天体与O点的连线扫过的面积相等，轨道Ⅰ和轨道Ⅲ是不同轨道，故D错误。故选B。

二、天体质量密度估算

1.“自力更生”法(g－R)：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。

(1)由G＝mg得天体质量M＝。

(2)天体密度ρ＝＝＝。

(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。　　

2.“借助外援”法(T－r)：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。

(1)由G＝mr得天体的质量M＝。

(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。

(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。

【例2】“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G。下列正确的是（　　）

A．月球表面重力加速度

B．月球的质量为

C．月球的第一宇宙速度

D．月球同步卫星离月球表面高度为

【答案】A

【详解】A．由自由落体运动规律有所以有故A正确；

B．在月球表面的物体受到的重力等于万有引力则故B错误；

C．月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力则

故C错误；

D．月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力

解得故D错误。故选A。

【例3】2020年6月23日9时43分，长征三号乙运载火箭成功发射第55颗北斗导航卫星，并顺利进入地球静止轨道，实现了全球卫星导航系统组网成功。已知该卫星在地球静止轨道距离地面的高度为地球半径的N倍，其运行周期约为T，地球的半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（　　）

A．该卫星的发射速度可以小于7.9km/s

B．该卫星的质量为

C．地球的质量为

D．地球表面的重力加速度为

【答案】C

【详解】A．第一宇宙速度7.9km/s是卫星的最小发射速度，故A错误；

C．假设地球的质量为M、卫星的质量为m，卫星环绕地球做圆周运动时万有引力提供心力，则由

又r=(N+1）R解得故C正确；

B．显然由C选项解析可知，卫星质量不可求，故B错误；

D．对于位于地球表面的物体，万有引力近似等于重力，则有则由以上整理得

故D错误；故选择C。

三、不同位置重力加速度

1．万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。

(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。

(2)在两极上：G＝mg2。

2．星体表面上的重力加速度

(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。

(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由，得

所以。

3．万有引力的“两个推论”

推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F引=0。

推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力,即F=G。

【例4】在北极重力为的物体，在赤道上重力变为。若将地球看成质量分布均匀的球体，北极的重力加速度为，则地球半径与自转周期的平方之比为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】在北极G1=mg在赤道上解得故选C。

【例5】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（　　）

A．1－ B．1＋

C． D．

【答案】A

【详解】如图所示

根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故又联立解得

设矿井底部的重力加速度为g′，图中阴影部分所示球体的半径r＝R－d，则

联立解得故选A。

【多维度分层专练】

1．2020年7月，我国用长征运载火箭将“天问一号”探测器发射升空，探测器在星箭分离后，依次进入地火转移轨道、捕获轨道、停泊轨道、探测轨道，如图所示。2021年5月在火星乌托邦平原着陆。则探测器（　　）

A．每次经过P点时的加速度相等

B．每次经过P点时的机械能相等

C．绕火星运行时在探测轨道上的周期最大

D．绕火星运行时在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等

【答案】A

【详解】A．根据牛顿第二定律可得解得由于、都相同，可知探测器每次经过P点时的加速度相等，A正确；

B．探测器依次进入地火转移轨道、捕获轨道、停泊轨道、探测轨道，每次在P点变轨都要进行点火减速，在点火减速过程，探测器的机械能减少，B错误；

C．根据开普勒第三定律可知绕火星运行时在探测轨道上的周期最小，C错误；

D．根据开普勒第二定律可知探测器绕火星运行时在同一轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等，但在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积不相等，D错误；故选A。

2．2021年10月16日，长征二号F运载火箭遥十三搭载着翟志刚、王亚平与叶光富三位航天员的神舟十三号载人飞船发射升空，神舟十三号采用自主快速交会对接模式成功对接于天和核心舱径向端口，与此前已对接的天舟二号、天舟三号一起构成四舱（船）组合体，如图甲所示。如图乙所示，轨道Ⅰ为空间站运行圆轨道，轨道Ⅱ为载人飞船运行椭圆轨道，两轨道相切于A点，载人飞船在A点与空间站组合体完成对接，若空间站组合体距地球表面的高度为h，地球半径为R，航天员与载人飞船始终相对静止，则下列说法正确的是（　　）

A．翟志刚、王亚平与叶光富三位航天员随空间站组合体做圆周运动过程中，所受向心力大小相等

B．对接前，载人飞船与地心的连线和空间站组合体与地心的连线在相同时间内扫过的面积相同

C．若载人飞船在轨道Ⅰ、Ⅱ的运行周期之比为，则轨道Ⅱ近地点距地球表面的距离为

D．载人飞船上在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行经过A点时向心加速度不相等

【答案】C

【详解】A．航天员随空间站做圆周运动过程中，所受向心力由万有引力提供因为三人质量可能不同，因此所受向心力大小可能不相等，故A错误；

B．根据开普勒第二定律可知在不同轨道上，载人飞船与地心的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故B错误；

C．根据开普勒第三定律可知，载人飞船在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行时满足（a为轨道Ⅱ的半长轴）且有（x为轨道Ⅱ近地点距地球表面的距离）联立解得故C正确；

D．载人飞船在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行经过A点时所受万有引力相等，因此在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行经过A点时向心加速度相等，故D错误。故选C。

3．随着科技的发展，人们期待将来有一天能在地球与其他星球之间自由往返。若航天爱好者在登陆某星球（可视为质量分布均匀的球体）的过程中，测得航天器在该星球表面附近飞行的周期为T，着陆后用测力计测得质量为m0的砝码重力为P，引力常量为G，由此可算出（　　）

A．该星球同步卫星的质量m′和半径R

B．该星球的质量M和航天器的质量m

C．该星球的半径R和密度ρ

D．该星球的公转周期T0和第一宇宙速度v

【答案】C

【详解】ABC．由题意可得该星球表面的重力加速度又因；可得该星球半径、质量；结合；可求出该星球的密度同步卫星和航天器是绕行天体，不能通过题给条件求出质量，选项A、B错误，C正确；

D．该星球的第一宇宙速度但该星球的公转周期不可求，选项D错误。故选C。

4．在浩瀚的天空，有成千上万颗的人造天体一直在运行。为研究某未知天体，人类发射了一颗探测器围绕该天体做圆周运动，如图所示。若测得该天体相对探测器的张角为θ，探测器绕该天体运动的周期为T，引力常量为G，则该天体的密度为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】设该天体的质量为M，半径为R，探测器的质量为m，探测器绕该天体运动的轨道半径为r，根据万有引力提供探测器匀速圆周运动的向心力解得天体的质量为根据球密度公式得故A正确，BCD错误。故选A。

5．数千年以来，人类不断探索着未知而又神秘的宇宙。我们期待着能认识宇宙中每一个星球，期待着将来某一天能在宇宙空间任意穿梭。如果航天器登陆某星球（可视为质量分布均匀的球体）的过程中，测得航天器在该星球表面附近做匀速圆周运动的周期为T，着陆后用测力计测得质量为mo的砝码重力为Fo，已知引力常量为G。忽略星球自转影响，由此推算的结果正确的是（　　）

A．该星球表面重力加速度为 B．该星球的半径

C．该星球的密度 D．该星球的第一宇宙速度

【答案】BC

【详解】由牛顿第二定律由万有引力公式由球体体积公式

由质量和密度的关系联立解得；；故选BC。

6．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为（质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零）（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小相等，有

由于地球的质量为所以重力加速度的表达式可写成质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（R－d）的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度所以有

根据万有引力提供向心力有G＝ma“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝

所以，故选C。

7．假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零，地球表面处引力加速度为g．则关于地球引力加速度a随地球球心到某点距离r的变化图像正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】若距离大于地球半径，则根据万有引力提供重力可得，得到加速度，随距离增大，加速度变小．当在地球球壳内即距离小于地球半径，此时距离地心范围内的球壳对物体没有引力，那么对其产生引力的就是半径为的中心球体的引力，因此，即加速度与距离成正比，对照答案B对．

8．2021年2月24日，“天问一号”探测器成功进入火星停泊轨道，标志着中国正式开始了对火星表面的探测活动。若探测器绕火星做半径为R、周期为T的匀速圆周运动，已知火星的半径为R0、自转周期为T0，且火星可视为质量均匀的球体，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

A．火星的质量为

B．火星的质量为

C．火星赤道处的重力加速度为

D．火星赤道处的重力加速度为

【答案】BD

【详解】AB.设火星的质量为M，“天问一号”的质量为m，则由题意根据牛顿第二定律有

解得故A错误，B正确；

CD.火星赤道处质量为m0的物体所受重力是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力提供此物体随火星自转的向心力。设赤道处的重力加速度为g，则根据牛顿第二定律可得解得故C错误，D正确。故选BD。

9．已知地球半径为R，质量为M，自转周期为T，在赤道处用弹簧秤悬挂某物体（质量为m），静止时示数为F，万有引力常量为G。下列说法正确的是（　　）

A．在北极进行同样的操作，弹簧秤示数依然是F

B．在赤道处重力的大小等于F，且

C．假如地球自转周期减小，那么赤道上物体的重力也减小

D．地球的第一宇宙速度v1＝

【答案】BC

【详解】A．北极处的重力加速度与赤道处的重力加速度不等，则重力不等，所以弹簧秤的示数不等于F，故A错误；

B．赤道处弹簧秤的拉力等于物体的重力，赤道处物体的万有引力一个分力等于重力，一个分力提供向心力，即故B正确；

C．根据可知，地球的自转周期减小，则向心力增大，赤道上物体的重力减小，故C正确；

D．地球的第一宇宙速度等于贴近地球表面做圆周运动，即与自转的线速度不等，故D错误。

故选BC。

10．某同学认为只要测出地球赤道位置处的重力加速度g，就可以利用一些常见的数据计算出地球的半径和质量。已知常见数据为万有引力常量G，地球的自转周期T，地球两极处的重力加速度g0。若视地球为质量分布均匀的球体，赤道处的重力加速度g已经测出，则下列说法中正确的是（　　）

A．地球的半径为

B．地球的半径为

C．地球的质量为

D．地球的质量为

【答案】BD

【详解】在两极地区，物体受到地球的万有引力，则有在赤道处，则有

联立可得地球的半径为将代入可得地球的质量

故A、C错误，B、D正确；故选BD。