精品解析：广东省深圳市罗湖区2022-2023学年九年级上学期数学期中综合复习题

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广东省深圳市罗湖区2022-2023学年九年级上学期数学期中综合复习题
一、选择题
1. a，b，c，d是成比例线段，若，，，则线段d的长为（ ）
A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：由a，b，c，d是成比例线段，即可得到，由此即可求解；
方法二：根据比例的基本性质，依次验证四个选项即可．
【详解】解：方法一：∵a，b，c，d是成比例线段，a=3cm，b=2cm，c=6cm，
∴，
∴
故选A．
方法二：对于A选项，2×6=3×4，故A选项符合题意；
对于B选项，，故B选项不符合题意；
对于C选项，，故C选项不符合题意；
对于D选项，，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例线段，四条线段成比例线段，则其中两条线段的比与另两条线段的比相等，或者两条线段的乘积等于另两条线段的乘积．
2. 在比例尺是某市旅游交通图上，高庄和郭村两景点距离长约，则实际长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图上距离：实际距离=比例尺，即可列式解题.
【详解】设实际长度为xcm，
，
得x=507000（cm），
∴x=5.07（km），
故此题选择A.
【点睛】此题考查线段成比例性质的实际运用，注意长度单位要统一.
3. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．
【详解】解：从正面看有2层，底层是三个小正方形，上层从左数第三个是一个小正方形，故C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
4. 下列说法正确是（　　）
A. 字母相同并且字母的指数也相同的项是同类项
B. 分解因式﹣81a2﹣b2＝﹣（9a﹣b）（9a+b）
C. 若（y2）m（xn+1）2÷xny＝x3y3，则m＝2，n＝1
D. 已知x2﹣2mx+1是完全平方式，则m＝1
【答案】C
【解析】
【分析】A、根据同类项定义判断；B、根据平方差公式判断；C、先化简变形，然后根据同类项定义得到关于m、n的一元一次方程后得到解答；D、对﹣2mx+1进行配方，并令完全平方式外的部分为0，即可得到m的值．
【详解】解：A、所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，故本选项错误；
B、两平方项符号相同，不能运用平方差公式分解因式，故本选项错误；
C、∵（y2）m（xn+1）2÷xny＝y2mx2n+2÷xny＝x2n+2﹣ny2m﹣1＝x3y3，
∴2n+2﹣n＝3，2m﹣1＝3，
解得m＝2，n＝1，
故本选项正确；
D、要使x2﹣2mx+1是完全平方式，那么1-m2＝0，m＝±1，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查同类项、因式分解及同底幂的运算，熟练掌握有关运算方法是解题关键．
5. 如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）

A. 59° B. 60° C. 56° D. 22°
【答案】A
【解析】
【分析】根据∠3=∠AFE=90°－∠EAF计算即可．
【详解】解：根据题意可得，在△ABC中，，则，
又AD为△ABC的角平分线，
．
又在△AEF中，BE为△ABC的高，
∴，
．
故选：A.
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的高等知识，解题的关键是理解题中角与角之间的关联.
6. 在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（　　）.

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照题意分别找出点C所在的位置的个数，再找出其中满足的面积为1的C点个数，再根据概率公式求出概率即可．
【详解】解：如图所示，
点C所放在格点上的位置共有16种可能，而能使△ABC的面积为1的点共有如图4种可能，

故恰好使△ABC的面积为1的概率为：.
故本题正确答案为C.
【点睛】熟练掌握三角形的基本概念和求随机事件的概率是解本题的关键.
7. 某厂今年7月份的产值为200万元，第三季度总产值为950万元，这两个月的平均增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：7月份的产值+8月份的产值+9月份的产值=950，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：8月份的产值为200×（1+x），
9月份的产值在8月份产值的基础上增加x，为200×（1+x）×（1+x），
则列出的方程是200+200（1+x）+200（1+x）2=950，
故选：D．
【点睛】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b；注意本题是根据3个月的总产值得到相应等量关系．
8. 若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（　　）
A. 8 B. 7 C. 8或7 D. 9或8
【答案】C
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质可知“a＝b，或a、b中有一个数为4”，当a＝b时，由根的判别式b2﹣4ac＝0即可得出关于k的一元一次方程，解方程可求出此时n的值；a、b中有一个数为4时，将x＝4代入到原方程可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出此时的n值，结合三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴a＝b，或a、b中有一个数为4．
当a＝b时，有b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，
解得：n＝8；
当a、b中有一个数为4时，有42﹣6×4+n+1＝0，
解得：n＝7，
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及三角形三边关系，解题的关键是分两种情况考虑k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出关于未知数k的方程是关键．
9. 如图，已知直线，直线分别与，，交于点，，，过点作直线交直线，于点，，若，，，则的长为（ ）

A 4 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：∵直线，AB=2，BC=1，BD=3，
∴ ，
∵，，，
∴，
所以BE=1.5．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
10. 如图，在正五边形内部找一点，使得四边形为平行四边形，甲、乙两人的作法如下：甲：连接、，两线段相交于点，则即为所求；
乙：先取的中点，再以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求，对于甲、乙两人的作法，下列判断正确（ ）．

A. 两人皆正确 B. 两人皆错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确
【答案】C
【解析】
【详解】甲正确，乙错误，
理由是：如图，

∵正五边形的每个内角的度数是，
，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
即甲正确；
如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
即，，
∴四边形不是平行四边形，即乙错误．
故选∶C．
11. 如图，中，，于D，BE平分，且于E，与CD相交于点F，于H，交BE于G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF＝AD，BF＝AC．则CD＝CF+AD，即AD+CF＝BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE＝AE＝AC，又因为BF＝AC所以CE＝AC＝BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD＝CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG＝CG．
在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．
【详解】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①正确；
连接CG．

∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG．
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故②错误．
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE＝AE＝AC．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC，
∴CE＝AC＝BF，
∴2CE＝BF；
故③正确；
由③可得△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
12. 如图，是的中线，点、分别在和的延长线上，且，连接、．有下列说法：① ② ③ ④，其中正确的是（ ）

A. ①④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】先利用SAS证明△BDF≌△CDE，再结合全等三角形的性质可得证②③，缺少证明△ABD与△ACD全等的条件．
【详解】①∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE；
②∵△BDF≌△CDE，
∴CE=BF；
③∵△BDF≌△CDE，
∴∠CED=∠BFD，
∴BF∥CE；
④缺少证明△ABD与△ACD全等的条件．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，解题的关键是证明△BDF≌△CDE．
二、填空题
13. 两个等边三角形的面积比是3∶4， 则它们的边长比是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意得到两个等边三角形相似，再根据相似三角形的面积比等于相似的平方得到，即可得到答案．
【详解】两个等边三角形相似
设它们的边长比是k
两个等边三角形的面积比=

故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形性质，即面积比等于相似比的平方，熟练掌握知识是解题的关键．
14. 如图，王华同学在晚上由路灯 AC 走向路灯 BD，当他走到点 P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到 路灯 AC 的底部，当他向前再步行 12m 到达 Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 BD 的底 部，已知王华同学的身高是 1.6m，两个路灯的高度都是 9.6m，则两个路灯之间的距离是_______米.

【答案】18
【解析】
【分析】（1）依题意得到△APM∽△ABD，∴再由它可以求出AB；
【详解】由对称性可知AP=BQ，设AP=BQ=xm
∵MP∥BD，
∴△APM∽△ABD
∴
∴
∴x=3
经检验x=3是原方程的根，并且符合题意.
∴AB=2x+12=2×3+12=18(m)
故答案为18.
【点睛】考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
15. 如图，平面直角坐标系中，已知点，点、分别在轴、轴上，且，若点坐标为，则______（用含的代数式表示）．

【答案】18-．
【解析】
【分析】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，构造正方形AEOD，再证△AEB≌△ADC（SAS），得BE=CD，由EB=EO-BO=9-，可求CD=9-，求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可．
【详解】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，
∵点，
AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，
四边形AEOD为正方形，
∵，∠EAD=90°，
∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
∵，AE=AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE=CD，
∵EB=EO-BO=9-，
∴CD=9-，
OC=OD+CD=9+9-=18-，
故答案为：18-．

【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．
16. 上体育课时，老师在运动场上教同学们学习掷铅球，训练时，小远同学掷出的铅球在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm、深约为2cm的小坑，则该铅球直径约为____cm．
【答案】
【解析】
【分析】设该铅球的直径约为xcm，由题意得AB=10cm，CD=2cm，在Rt△AOD中，根据勾股定理得到AD2+OD2=OA2，即52+（x-2）2=（x）2，解方程即可．
【详解】解：如图，由题意得AB=10cm，CD=2cm，
设该铅球的直径约为xcm，
在Rt△AOD中，AD=AB=5cm，OD=(x-2)cm，AD2+OD2=OA2，
∴52+（x-2）2=（x）2，
解得x=，
故答案为：．

【点睛】此题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确理解题意画出图形解决问题是解题的关键．
三、解答题
17. 解下列方程：
（1）
【答案】（1），；，．
【解析】
【分析】（1）找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解；
（2）方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：（1）这里a=1，b=-4，c=1，
∵△=16-4=12，
∴=；
，
，
或，
所以，．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】分式的分子分母能因式分解的先进行因式分解再约分，然后利用分式的乘除法运算法则化简求值.
【详解】解：


当时，原式
【点睛】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握分式的约分是解题的关键.
19. 从甲、乙两厂生产的同一种零件中各抽取5个，量得它们的尺寸（单位：）如下：
甲厂生产的零件尺寸
9.02
9.01
9
8.98
8.99
乙厂生产的零件尺寸
9.01
8.97
9.02
8.99
9.01
（1）分别计算从甲、乙两厂抽取的5个零件的平均尺寸；
（2）分别计算从甲、乙两厂抽取的5个零件的方差，根据计算结果，你认为哪个厂生产的零件更符合规格．（零件的规定尺寸为）
【答案】（1）甲，乙两厂生产的零件的平均尺寸都为；（2），甲厂生产的零件更符合规格．
【解析】
【分析】（1）利用平均数公式直接计算即可得到答案；
（2）由方差的计算公式直接计算甲，乙的方差，再根据方差越小，零件越符合规格，从而可得答案．
【详解】解：（1）

所以：甲，乙两厂生产的零件的平均尺寸都为
（2）

由＞
＜
所以甲厂生产的零件更符合规格．
【点睛】本题考查的是平均数的含义，求一组数据的平均数，求解一组数据的方差，利用方差作决策，掌握以上知识是解题的关键．
20. 小明将一圆柱形器皿放置在水平桌面上，AD为该器皿底面圆的直径，且AD＝3，CD＝4，在距离水平桌面为6处有一点光源P（垂直于水平桌面，且＝6），圆柱形器皿在点光源P下的投影如图所示，点D的投影刚好位于器皿底与器皿壁的交界处，即点B处，点A的投影为点．已知点、B，C，在同一条直线上，求圆柱形器皿在桌面上的投影的长．

【答案】圆柱形器皿在桌面上的投影的长为9
【解析】
【分析】由题意得，再根据对应边之比等于对应边高上的比进行求解得出，代入数据即可求解出结果．
【详解】解：由题意，则．
由相似三角形对应边上的高的比等于相似比，得
，即．
∴．
答：圆柱形器皿在桌面上的投影的长为9
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
21. 随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，某小区2007年底拥有家庭轿车64辆，2009年底家庭轿车的拥有量达到100辆，求2007年底到2009年底家庭轿车的拥有量的年平均增长率？
【答案】25%
【解析】
【分析】根据设增长率是x，则增长2次以后车辆数是64（1+x）2，列出一元二次方程的解题即可
【详解】解：∵某小区2007年底拥有家庭轿车64辆，2009年底家庭轿车的拥有量达到100辆，
假设2007年底到2009年底家庭轿车的拥有量的年平均增长率为x，
根据题意得：
64（1+x）2=100，
解得：x 1=0.25=25%，x 2=-2.25（不合题意舍去），
答：2007年底到2009年底家庭轿车的拥有量的年平均增长率是25%．
22. 如图，直线l的解析式为，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为秒．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）用含t的代数式表示的面积．
（3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为．

①当时，试探究与t之间的函数关系式．
②在直线m的运动过程中，当t为何值时，为面积的？
【答案】（1），；（2）；（3）①；②或．
【解析】
【分析】（1）把x=0，y=0代入解析式即可；
（2）表示出OM、ON的长，再表示面积即可；
（3）由题意可知，点P的坐标为，可知，，然后用面积和差表示．
【详解】解：（1）当时，；
当时，．
∴，．
（2）∵直线l平行于直线m，
∴，
∴．
（3）①当时，
易知点P在的外面，则点P的坐标为，
F点的坐标满足，
即，
同理，
则，
，
，
．
．
②当时，，
解得两个都不合题意，舍去；
当时，
，
解得，
综上得，当或时，为面积的．
【点睛】本题考查了一次函数动点问题，涉及到了一元二次方程、列二次函数解析式、一次函数性质等知识，解题关键是树立数形结合思想，进行分类讨论，熟练进行计算求解．
23. 在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点移动（点可以与点重合），同时，点从点出发沿以的速度向点移动（点可以与点重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒．

（1）如图1，几秒后，的面积等于？
（2）如图2，在运动过程中，若以为圆心、为半径的与相切，求值；
（3）若以为圆心，为半径作．如图3，若与四边形的边有三个公共点，则的取值范围为________．（直接写出结果，不需说理）
【答案】（1）2秒或4秒；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可知PA=t，BQ=2t，从而得到PB=6-t，BQ=2t，然后根据△PQB的面积=6cm2列方程求解即可；
（2）如图1所示：连接PE．依据勾股定理可求得BD的长，然后依据切线长定理可知DE=AD=8，从而可求得BE的长，由圆的半径相等可知PE=AP=t，然后在Rt△PEB中依据勾股定理列方程求解即可；
（3）先求得⊙Q与四边形DPQC有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围．
【详解】解：（1）由题意知，，，则，由可得，解得或，故当运动时间为2秒或4秒时，的面积为；
（2）如图1，设切点为，连接．

∵，
∴与相切，
∴分别与，相切，
∴．
∵与相切，
∴，
在中，依据勾股定理可得．
∴．
∵，
∴，．
在中，依据勾股定理可得，，解得；
（3）（Ⅰ）当t=0时，如图4所示：

⊙Q与四边形DPQC有两个公共点；
（Ⅱ）如图5所示：

当圆Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点，则QD=PQ，
得方程（6-t）2+（2t）2=36+（8-2t）2，
解得：t=-10-2（舍）或-10+2
∴当0＜t＜-10+2，⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点．
故答案为：0＜t＜-10+2．
【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键．