精品解析：广东省深圳市罗湖外语学校初中部2022-2023学年九年级上学期11月段考数学试题

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罗湖外语初中学校2022—2023学年度第一学期
九年级数学模拟试题
说明：1．本学科试题从第1页至第4页，共4页．满分100分，考试时间90分钟．
2．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后在写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
3．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，只交回答题卷，本卷自行保管．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图所示的几何体的俯视图是（    ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图的概念逐一判断即可得．
【详解】解：图中几何体的俯视图如图所示：

故答案为：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则sinA的值是（ 　 ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
详解】解：∵∠C=90°，a＝4，b＝3，
根据勾股定理可知：c=5，

故选：
3. 对于反比例函数y＝－，下列说法不正确的是(  )
A. 图象经过点(1，－3)
B. 图象分布第二、四象限
C. 当x＞0时，y随x的增大而增大
D. 点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在反比例函数y＝－的图象上，若x1＜x2，则y1＜y2
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A．∵﹣=﹣3，∴点（1，﹣3）在它的图象上，故本选项正确；
B．k=﹣3＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
C．k=﹣3＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
D．点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，若x1<0y2，故本选项错误．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
4. 如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，边上的中点，连结，若，，则菱形的周长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用三角形的中位线定理得出，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．
【详解】解：∵，分别是，边上的中点，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴菱形的周长为．
故选：D．
【点睛】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．
5. 下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A．对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，故选项错误，不符合题意；
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意；
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项错误，不符合题意；
D．对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形，菱形及正方形的判定，熟练掌握相关判定是解题的关键．
6. 新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染，根据经过两轮传染后有64人患病，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染．
依题意得，
即．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ）

A. 3m B. 4m
C. 4.5m D. 5m
【答案】D
【解析】
【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解．
【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m
∴ ，代入得：
∴m
故选：D
【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键．
8. 如图，中，，，下列式子错误的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用，，得出，，以及平行四边形，进而得出比例式，再对每一项进行判断即可．
【详解】解：，，
，，，且四边形是平行四边形．
，，，．
．
所以A，B，D正确，C错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题关键是灵活运用定理列出比例式．
9. 函数与（为a常数，且）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分类讨论和两种情况下两个函数图象所在的象限即可求解．
【详解】当时，函数图象在第一、三象限；图象在第一、三、四象限；
当时，函数图象在第二、四象限；图象在第一、二、四象限；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象的性质是解题的关键．
10. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，、分别交于点，，连接、，且．下列结论：①，；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】将绕点A逆时针旋转，得到，则，，，可证得，从而得到，，进而得到，再由四边形内角和定理可得，故①正确；再证明，可得，故②正确；再由，可得，从而得到，故③正确；再证明，是等腰直角三角形，可得，从而得到，将绕点A逆时针旋转，得到，则，，证明，可得，再由勾股定理，可得故④正确，即可求解．
【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转，得到，则，，，

∵四边形是正方形，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；

∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
如图，将绕点A逆时针旋转，得到，则，，

∴，即是直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选A．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法，添加辅助线构造全等三角形解决问题．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是______
【答案】
【解析】
【分析】先把代入原方程即可解出m的值，再解方程求解即可．
【详解】∵关于的一元二次方程的一个根是2，
∴把代入原方程，得，
∴，
∴原方程为，
，
或，
解得或，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
12. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若AB=8，则AC=____．
【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义即可求出．
【详解】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC， AB=8
∴AC=
故答案是：
【点睛】本题主要考察了黄金分割知识点，记住黄金分割公式是解题关键．
13. 如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点P的坐标为____________．

【答案】
【解析】
【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标．
【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为，
∴，
∵矩形与矩形是位似图形，P是位似中心，
∴，
∴，
∴点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
14. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为_____．

【答案】
【解析】
【详解】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K.

∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB,GC=AG,OG=BG=2，A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD=PA+PD=DA，
∴此时PC+PD最短，
在Rt△AOG中,AG=，
∴AC=2，
∵OA⋅BK=⋅AC⋅OB，
∴BK=4,AK==3，
∴点B坐标(8,4)，
∴直线OB解析式为y=x，直线AD解析式为y=−x+1，
由,解得，
∴点P坐标(,).
故答案为：(,).
【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称、最短路径问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点P的位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型．
15. 如图，矩形的两个顶点、分别落在、轴上，顶点、位于第一象限，且，，对角线交于点，若曲线经过点、，则______．

【答案】
【解析】
【分析】分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，则，设，利用矩形的性质可得，根据相似三角形的判定与性质可求得G点坐标，根据反比例函数系数，得到，求得，作轴于H，通过证得，求得，进而得出C得坐标代入反比例函数解析式可求得k．
【详解】解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，

∴，
设，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵曲线经过点C、G，
∴，
解得，
作轴于H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，以及反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
三、解答题（本大题共7小题，其中第16题6分，第17题7分，第18题6分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16. 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）x1=-3，x2=1；（2）x1=1，x2=
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）移项后，利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）∵x2+2x-3=0，
∴（x+3）（x-1）=0，
则x+3=0或x-1=0，
解得x1=-3，x2=1；
（2）∵3x（x-1）=2（1-x），
∴3x（x-1）=-2（x-1），
∴3x（x-1）+2（x-1）=0，
则（x-1）（3x+2）=0，
∴x-1=0或3x+2=0，
解得x1=1，x2=．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
17. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生数是___________人，圆心角β=___________度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获优异等级学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A、B、C、D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）600人
（4）
【解析】
【分析】（1）用等级为“良好”的人数除以等级为“良好”所占的百分比即可求出学生人数，先求出等级为“优异”的学生所占百分比，即可求出圆心角β的度数；
（2）用调查学生总人数分别减去“达标”、“良好”、“优异”的人数即可；
（3）用学生总人数乘以“优异”所占的百分比即可求解；
（4）画树状图得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得．
【小问1详解】
解：由图可知：等级为“良好”的人数为：10人，等级为“良好”所占的百分比为：，
本次调查的学生数是：（人），
，
故答案为：，．
【小问2详解】
等级为“优秀”的人数：（人），
如图所示：
【小问3详解】
（人），
答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为600人．
【小问4详解】
根据题意画出树状图如图所示：

共有12种等可能的结果数，满足条件的结果数有2种，
恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18. 如图在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）画出关于轴对称的；
（2）将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到对应的点，，，请画出；
（3）的值为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据点关于y轴对称，其纵坐标值不变，横坐标变为相反数，可得到点的坐标，依次连接即可得出；
（2）将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得出各个点的坐标并在图中标出三个点，依次连接即可得出；
（3）由关于轴对称的，可得，由将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，可得，求解即可．
【小问1详解】
∵的三个顶点坐标分别为，，，
∴的三个顶点关于轴对称的点的坐标分别为，，，
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得，，，
如图所示，即为所求；
【小问3详解】
∵关于轴对称的，
∴，
∵将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，
∴与的相似比为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查是坐标与图形，轴对称作图，位似作图，熟练掌握图形的轴对称的性质和相似三角形的性质是解题的关键．
19. 教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：

（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
【答案】（1）当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；
（2）a＝40； （3）李老师要7：38到7：50之间接水
【解析】
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；
（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
【小问1详解】
当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝，
将（8，100）的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y＝．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝．
【小问2详解】
将y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；
【小问3详解】
当y＝40时，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
20. 如图，直线y=﹣x+b与反比例函数的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．
（1）求k和b的值；
（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在一点P，使？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）b=5，k=4（2）x＞4或0＜x＜1（3）P（0，3）或P（0，﹣3）
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；
（2）由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：列方程，求得B（4，1），再根据图象中的信息即可得到结论；
（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，得 ，由已知条件得到 ，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】解：（1）将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和
得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4；
（2）由（1）知，b=5，k=4，
∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：
由，解得：x=4，或x=1，
∴B（4，1），
∴一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1，
（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，
∴，
∵，
∴，
过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），

∴S△PAC=OP•CD+OP•AE=OP（CD+AE）=|t|=3，
解得：t=3，t=﹣3，
∴P（0，3）或P（0，﹣3）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．
21. 如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，因此可得，又，则可得四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形.
（2）设，则，再根据勾股定理可得x的值，进而计算出四边形的面积.
【详解】（1）证明：由题意可得，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是菱形；
（2）∵矩形中， ，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得， ，
∴，
∴四边形的面积是：．
【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可.
22. 如图（1），已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点．

（1）推断：的值为______；（直接写出结果）
（2）探究与证明：将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图（2）所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：正方形在旋转过程中，当，，三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长交于点．若，，则______．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由、结合可得四边形是矩形，再由即可得出四边形是正方形；由正方形性质知：、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接，只需证即可得；
（3）证明，由相似三角形的性质得出，设，则，求出的值，则可得出答案．
【小问1详解】
解：四边形是正方形，
，，
、，
，
四边形是矩形，，
，
四边形是正方形；
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，理由如下：
连接，

由旋转性质知，
在和中，
，，
，
∴，
，
，
线段与之间的数量关系为；
【小问3详解】
解：由（2）知，
∵B、E、F三点在一条直线上，
，
，
，
、、三点共线，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
，，
，
，
解得：，即，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．