【期中单元测试卷】（苏科版） 2023-2024学年八年级数学上册 第一章 全等三角形（单元重点综合测试）

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第1章 全等三角形（单元重点综合测试）
一、单项选择题：每题3分，共8题，共计24分。
1．如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和全等的图是（    ）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【答案】B
【解析】解：甲、边a、c夹角不是，∴甲错误；
乙、两角为，夹边是a，符合，∴乙正确；
丙、两角是角对的边是a，符合，∴丙正确．
故选：B．
2．如图，在△ ABC中，∠PAQ＝∠APQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论① AS＝AR；② ；③ △ BPR≌ △ QSP中（    ）

A．全部正确 B．仅 ① 和 ② 正确 C．仅 ① 正确 D．仅 ① 和 ③ 正确
【答案】B
【解析】∵PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S
∴ AP平分，

在和中



故①对
∵∠PAQ＝∠APQ
∴
∴
故②对
在△ BPR和△ QSP中，只有一边和一角是无法判断三角形全等的
故③错
故选：B
3．如图，，，要使得．若以“”为依据，需添加的条件是（　 　）  

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵，，
∴，
∴和是直角三角形，
∵和有公共直角边，
∴以“”为依据判断，需要使，故A正确．
故选：A．
4．在和中，①，②，③，④，⑤，⑥．在下列条件中，不能保证的一组条件是（    ）
A．①③⑤ B．①②⑤ C．②④⑤ D．①②③
【答案】A
【解析】解：A、①③⑤符合SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′；
B、①②⑤符合SAS，能判定△ABC≌△A′B′C′；
C、②④⑤符合AAS，能判定△ABC≌△A′B′C′；
D、①②③符合SSS，能判定△ABC≌△A′B′C′．
故选：A．
5．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE的长为（　　）

A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm
【答案】C
【解析】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB，
∵∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCE＝90°，
∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE＝2，CD＝BE＝0.5，
∴DE＝CE﹣CD＝2﹣0.5＝1.5（cm）．
故选：C．
6．如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
7．根据下列条件能画出唯一的是（   ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【解析】解：A.当，，时，，则线段、、不能构成三角形，故选项不符合题意；
B. 边边角三角形不能唯一确定，如图1，故选项不符合题意；
C. 角角角三角形不能唯一确定，如图2所示，故选项不符合题意；
D.边角边可以画出唯一的三角形，故选项符合题意；
故选：．

8．是的中线，，则的取值可能是（    ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【解析】解：如图，延长至点，使得，连接，则，
  
是的中线，
，
在和中，，
，
，
在中，，即，
，
观察四个选项可知，只有A符合，
故选：A．

二、填空题：每题3分，共10题，共计30分
9、如图，在△ABC和△ADC中，，，，则________º．

【答案】130
【解析】解：在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC，∴∠D=∠B=130°，故答案为：130．
10、小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带第_______块.

【答案】2
【解析】结合ASA判定三角形全等，选择2
11、如图，为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=_______.

【答案】135°
【解析】

∵△ABC和△DBE中，

∴△ABC≌△DBE（SAS）
∴∠3=∠ACB
∵∠ACB﹢∠1=90°
∴∠1﹢∠3=90°
∴∠1﹢∠2﹢∠3=90°﹢45°=135°
12、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为_______度．

【答案】80
【解析】
解析：由题意得，∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的
∴∠EBC=2∠2=50°，∠DCB=2∠3=30°
∴∠α=∠EBC﹢∠DCB=50°﹢30°=80°

13、如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接AD，BE交于点O，AC与BE交与点P，则∠AOB＝_______．

【答案】60
【解析】
解析：∵△ABC和△CDE是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB﹢∠BCE=∠DCE﹢∠BCE
即∠ACE=∠BCD
在△ACE和△BCD中

∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴∠CAE=∠CBD
∵∠APC=∠BPO
∴∠BOP=∠ACP=60°
即∠AOB=60°
14．如图：已知AC=AD，BC=BD，CE=DE，则全等三角形共有_____对，并说明全等的理由．

【答案】3
【解析】全等三角形共有3对，△ACE≌△ADE，△ACB≌△ADB，△ECB≌△EDB，
理由：在△ECB和△EDB中
，
∴△ECB≌△EDB（SSS），
在△ACE和△ADE中
，
∴△ACE≌△ADE（SSS），
在△ACB和△ADB中
，
∴△ACB≌△ADB（SSS）．

15．如图，在△ACD与△BCE中，AD与BE相交于点P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝55°，则∠APB的度数为 ．

【答案】55°
【解析】解：如图：

在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠D＝∠E，
∵∠DPE+∠1+∠E＝∠DCE+∠2+∠D，
而∠1＝∠2，
∴∠DPE＝∠DCE＝55°，
∴∠APB＝∠DPE＝55°．
故答案为：55°．
16．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝ ．（用α含的式子表示）

【答案】180°﹣α．
【解析】解：延长AE至M，使EM＝AE，
连接AF，FM，DM，

∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△AEC与△MED中，
，
∴△AEC≌△MED（SAS），
∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，
∵EF⊥AE，
∴AF＝FM，
∵点F在BD的垂直平分线上，
∴FB＝FD，
在△MDF与△ABF中，
，
∴△MDF≌△ABF（SSS），
∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，
∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，
∴∠BFD＝∠AFM
＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）
＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）
＝180°﹣∠BAC
＝180°﹣α，
故答案为：180°﹣α．
17．如图，在四边形中，于，则的长为

【答案】
【解析】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，
∵，


，


∴≌
，
，
，
即，
，
故答案为．

18．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：其中正确的结论有______个．
①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN；⑤△AFN≌△AEM．

【答案】4
【解析】∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠BAE=∠CAF，BE=CF，AF=AE，故②正确，
∴∠BAE−∠BAC=∠CAF−∠BAC，即∠1=∠2，故①正确，
∵△ABE≌△ACF，
∴AB=AC，
又∵∠BAC=∠CAB，∠B=∠C
∴△CAN≌△ABM（ASA），故③正确，
CD=DN不能证明成立，故④错误
∵∠1=∠2，∠F=∠E，AF=AE，
∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正确．

三、解答题：共9题，共计86分。
19、已知：如图，AB∥CD，AB=CD，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE，CF分别交AD于点E、F．
（1）求证：△ABO≌△DCO；
（2）求证：BE=CF．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：

（2）证明：

．
20、如图，，，，且，求证：．

【答案】见解析
【解析】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
又AB＝AC，，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴．

21、已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF．

【答案】见解析
【解析】
∵AB∥DF
∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE
∵∠E=∠CPD
∴∠E=∠B
在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）

22、已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．

【答案】见解析
【解析】答案：（1）证明如下（2）BD⊥CE
解析：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC﹢∠CAD=∠EAD﹢∠CAD
∴∠BAD=∠CAR
在△BAD和△CAE中

∴△BAD≌△CAE（SAS）
（2）∵△BAD≌△CAE
∴∠ABD=∠ACE
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°
∴∠ABD﹢∠DBC=∠ABC=45°
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE﹢∠DBC=45°
∴∠DBC﹢∠DCB=∠DBC﹢∠ACE﹢∠ACB=90°
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB=90°
即BD⊥CE

23、如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE=AD﹣BE，证明见解析．
【解析】解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．
（2）成立．
证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC﹣CD=AD﹣BE．
24、如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=20°，求∠ACF的度数．

【答案】答案：（1）证明如下（2）70°
【解析】解析：（1）∵∠ACB=90°
∴∠CBF=∠ACB=90°
在Rt△ABE和Rt△CBF中

∴Rt△ABE和Rt△CBF（HL）
（2）∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=20°
∴∠BAC=∠ACB=45°
∵∠BAE=45°﹣20°=25°
由（1）可得，∠BCF=∠BAE=25°
∴∠ACF=∠BCF﹢∠ACB=45°﹢25°=70°


25、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）全等，理由见详解；PC⊥PQ，理由见解析；（2）存在，或．
【解析】解：（1）当时，，，
又，
在和中，
．，
．
，
即线段与线段垂直．
（2）①若，
则，，
则，解得：；
②若，
则，，
则，解得：；
综上所述，存在或使得与全等．

26．在中，，，为直线上一点，连接，过点作交于点，交于点，在直线上截取，连接．

（1）当点，都在线段上时，如图①，求证：；
（2）当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明．
【答案】（1）见解析；（2）图②：；图③：
【解析】（1）证明：如图，过点作交的延长线于点．


∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）图②：．
证明：过点作交于点．

∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∴，
∵
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
图③：．
证明：如图，过点作交的延长线于点．

∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
27．（1）如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O．
①如图1，求证：△ABE≌△ADC；
②探究：如图1，∠BOC＝________；
如图2，∠BOC＝________；
如图3，∠BOC＝________；
（2）如图4，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边，BE，CD的延长相交于点O．
①猜想：如图4，∠BOC＝________（用含n的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．

【答案】见解析
【解析】解：（1）①证法一
∵△ABD与△ACE均为等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，
且∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE，
∴△ABE≌△ADC（SAS）．
证法二：
∵△ABD与△ACE均为等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，
且∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到，
∴△ABE≌△ADC，
②120°，90°，72°．
（2）①．
②证法一：依题意，知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角，
AB＝AD，AE＝AC，
∴∠BAD＝∠CAE＝，
∴∠BAD﹣∠DAE＝∠CAE﹣∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠ADC+∠ODA＝180°，
∴∠ABO+∠ODA＝180°，
∵∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°，
∴∠BOC+∠DAB＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣∠DAB＝；
证法二：同上可证△ABE≌△ADC．
∴∠ABE＝∠ADC，如图，延长BA交CO于F，
∵∠AFD+∠ABE+∠BOC＝180°，∠AFD+∠ADC+∠DAF＝180°，
∴∠BOC＝∠DAF＝180°﹣∠BAD＝；
证法三：同上可证△ABE≌△ADC．
∴∠ABE＝∠ADC．
∵∠BOC＝180°﹣（∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD），
∴∠BOC＝180°﹣（∠ADC+∠ABC+∠ACB+∠ACD），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠DAC，
∴∠BOC＝180°﹣（360°﹣∠BAC﹣∠DAC），
即∴∠BOC＝180°﹣∠BAD＝；
证法四：同上可证△ABE≌△ADC．
∴∠AEB＝∠ACD．如图，连接CE，
∵∠BEC＝∠BOC+∠OCE，
∴∠AEB+∠AEC＝∠BOC+∠ACD﹣∠ACE，
∴∠BOC＝∠AEC+∠ACE．
即∴∠BOC＝180°﹣∠CAE＝．
注意：此题还有其它证法．